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Archivo de mayo, 2012

Seguimos pendientes de las rectas…

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular…

 

–¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! –a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

–¡Me encanta, Mati! –Sal estaba también entusiasmado.

–Pues aún hay más…–respondió ella con tono de misterio –pero ésas la dejaremos pendientes… Ahora vamos a dar un paseo por la playa

En el capítulo de hoy…

–Mira, Sal, el tobogán, ¿nos tiramos? –preguntó Ven animado –Parece muy emocionante, mira cuánta pendiente tiene…

–No, no tiene tanta pendiente, Ven, es casi como el del parque de nuestra casa. No seas exagerado…

–Que no, Sal, que este tiene más pendiente –insistió el pequeño.

–¿Cómo lo puedes saber? –preguntó su hermano mirando por encima de sus gafotas.

–Espera, que me tiro y te lo digo –dijo Ven y salió corriendo al tobogán.

Mati, Sal y Gauss se quedaron esperando la opinión del experto que volvió en pocos minutos sonriente.

–Me he quemado el culete, estaba muy caliente –dijo éste –Pero tiene la misma pendiente, he sentido las mismas cosquillitas en la barriga.

–Bueno, bueno –intervino la pelirroja sonriendo –Es una escala de medida bastante original, pero si queréis os cuento cómo se puede medir exactamente una pendiente.

–¡Sí, Mati! –dijeron los dos hermanos a la vez, Gauss se tumbó panza arriba para tomar el sol.

–La pendiente del tobogán, es la pendiente de la recta que lo representa –comenzó a hablar Mati.

–¡Toma, rectas! ¡Mola! –interrumpió Ven.

–Sí, para eso también sirve conocer las rectas –dijo Mati y continuó guiñando un ojo–Ya veis que son muy interesantes… Pues bien, vamos a usar para explicarlo una recta y lo hacemos con un dibujo, ¿vale?

Mati sacó su cuaderno y dibujó una recta que pasaba por los puntos A y B  de coordenadas (1,1) y (4,3), respectivamente.

–Ésta es la recta de antes, ¿verdad, Mati? –preguntó Sal.

–¡Ajá! Voy a usar la misma porque vamos a ver nuevas ecuaciones de la recta –dijo Mati –Cuando queremos calcular la pendiente de una recta, lo que estamos tratando de medir es el ángulo que forma con el suelo, como cuando medimos la pendiente del tobogán. Nuestro suelo es el eje de las x, donde medimos la primera coordenada.

–Pero fijaos que este ángulo, esta elevación es la misma que si el suelo estuviese a la altura del punto A –continuó la gafotas.

–¡Toma, toma, toma! ¡Claro! –gritó Ven sobresaltando a Gauss en su baño solar.

–¿Cómo medimos el ángulo, Mati? –preguntó Sal.

–En realidad, cuando hablamos de la pendiente de una recta no medimos el ángulo como tal, sino una cantidad propia del ángulo, que es la tangente de dicho ángulo –respondió ella.

–¿Qué es la tangente? –quiso saber Sal.

–Bueno, es una característica que nos permite identificar a un ángulo sin saber cuánto mide –comenzó a decir Mati –pero nos ayuda a determinar su inclinación. Para ello, vamos a medir la distancia en vertical entre los dos puntos A y B, y la distancia en horizontal entre los 2. Fijaos, tenemos un triángulo rectángulo, como en el Teorema de Pitágoras, ¿os acordáis? –les preguntó la pelirroja.

–¡¡Sí, sí!! ¡¡Con los catetos!!

–Eso es, Ven. Pues la tangente del ángulo que queremos se calcula dividiendo entre sí la longitud de los catetos –continuó Mati –Dividimos el cateto que no toca al ángulo por el cateto que si la toca.

–Que en nuestro caso particular sería…

–Pero, Mati –dijo Sal pensativo –Los catetos miden lo mismo que las coordenadas del vector AB, ¿no?

–Efectivamente, cielo –Mati se sorprendió alegremente –Si conocemos el vector de la recta, la pendiente de ésta se calcula dividiendo la segunda coordenada del vector por la primera coordenada del mismo. Nos ha salido positiva porque el ángulo que forma es menor que 90º, agudo. Eso significa que la recta va subiendo cuando nos movemos hacia la derecha. –siguió Mati –Pero cuando el ángulo es obtuso, mayor de 90º, la pendiente será negativa y la recta irá bajando cuando nos movemos la derecha también.

–¡Toma, toma, toma! ¡La del tobogán es negativa porque cuando vamos hacia adelante, el tobogán va bajando!–como siempre Ven estaba estusiasmado.

–¡Exacto! Pues aún hay más –siguió nuestra amiga matemática –Conociendo un punto de la recta, por ejemplo A y la pendiente, m, podemos calcular otra ecuación de la recta: la ecuación punto-pendiente.

–¡Hala, qué suertudas las rectas! –dijo Ven –Tiene un montón de ecuaciones…

–Pues no se vayan todavía, aún hay más –dijo cómicamente Mati –Vamos a dejar sola a la y en el miembro de la derecha…

–¡Otra! –dijo Sal con sorpresa.

–A esta nueva ecuación de la recta, en la que se expresa el valor de la coordenada y de un punto en función de x, se le llama ecuación explícita de la recta.

–Ésa ya la vimos, ¿no, Mati? –preguntó Ven.

–No, no. La que vimos fue la ecuación implícita. Pero ya veréis, hacemos lo mismo con la ecuación implícta de la recta, es decir, dejamos a la y sola en el primer miembro… –Mati continuó con voz de misterio.

–¡Toma! ¡Sale lo mismo! –se asombró el pequeño.

–Claro, pero aún hay más… –continuó Mati –¿Qué número multiplica a la x?

–¡2/3! -dijo Sal –¡La pendiente!

–¡Eso es! –corroboró ella — Por lo tanto, podíamos conocer la pendiente simplemente despejando la y en la ecuación implícita y saber si la recta se inclina hacia arriba o hacia abajo. Si tenemos la ecuación explícita de una recta, la pendiente de la misma es el número que multiplica a la x, es decir, el coeficiente de x en la ecuación explícita.

–Pues a nuestra mascota… –dijo Ven mirando a Gauss todo despatarrado en la arena –No le va lo de las pendientes, prefiere estar tumbado…

Un niño grande que juega con papel

Cuando dices que eres investigadora en el área de Matemáticas no es difícil que alguien te pregunte ¿aún quedan cosas por descubrir en Matemáticas? ¿No está todo descubierto? Es entonces cuando tratas de explicar, sin palabros, que efectivamente no, no está todo descubierto y que, aparte de los problemas matemáticos clásicos planteados por ilustres matemáticos y que aún siguen sin resolver desafiando a las mentes que se dedican a ello, el desarrollo de la informática y las nuevas tecnologías hace imprescindible el avance de esta disciplina en la resolución de nuevos problemas, problemas sobre todo de tipo computacional. En ese sentido, por ejemplo, entre otras áreas, se encuentra la Geometría Computacional. Es ahora cuando me toca explicar qué es la Geometría Computacional, y aunque traté en su tiempo de hacerlo en esta entrada que publiqué en Gaussianos, tras una invitación del editor del mismo y he tratado de convencer de la belleza y versatilidad de sus estudios en dos entradas de Amazings.es, una primera explicando las aplicaciones del Diagrama de Voronoi y en la segunda parte, mostrando algunas estrategias de la materia para resolver el problema del cálculo del Diagrama de Voronoi, en pocas palabras, se podría decir que la Geometría Computacional se ocupa de tratar de resolver problemas de naturaleza geométrica, pero con métodos que puedan ser entendidos por un ordenador, y hacerlo de la forma más rápida (con menos operaciones) posible.

 

Erik y una de las autoras del blog

Erik Demaine no sólo investiga y publica en este área, pero es sin duda en la que más ha participado y gracias a lo cual he tenido el placer de conocer. Este niño grande, curioso y sorprendentemente brillante, fue con  20 años, el profesor más joven del prestigioso  Instituto de Tecnología de Massachusetts, M.I.T, o  emaití, como se le llama a veces coloquialmente

¿Con 20 años? ¿Sólo con 20 años?

Pues sí, porque aunque Erik detesta que se le tache de niño prodigio, no ha podido evitar ser incluido, por ejemplo, en esta lista, ni ser presentado como tal en la multitud de entrevistas y notas de prensa que sobre él se han publicado desde que era pequeño.

Erik nació en 1981 en Halifax (Canadá), su padre Martin Demaine es una figura capital en su formación ya que pronto se estableció una relación muy especial entre ambos. Cuando Erik tenía sólo 6 años, ambos fundaron la Erik and Dad Puzzle Company una compañía que se dedicaba a elaborar puzzles y pasatiempos. Un año más tarde, padre e hijo decidieron llevar una vida nómada por Estados Unidos y Canadá.  El padre era un artista y artesano, sobre todo trabajaba y trabaja el vidrio (ahora  como científico en un equipo de investigación del citado MIT, en  proyectos que conectan el arte con las matemáticas).

Esta vida nómada  les permitía ir de feria en feria, así  que Martin decidió dar clases a Erik usando unos manuales de una agencia especializada en la enseñanza no escolarizada. Pronto Erik superó a su padre en muchas materias y a partir de los nueve años fue prácticamente autodidacta hasta que a la edad de 12 años entró en la universidad, consiguiendo titularse a los 14. Obtuvo su  doctorado  con 20 años y con esa misma edad, como ya se ha dicho, fue el catedrático más joven en la historia del MIT.

Una de las autoras del blog con el padre de Erik, Martin Demaine

En realidad, a la vez que le ofrecían la plaza a Erik, el propio MIT hizo una oferta a Martin, así padre e hijo pudieron seguir trabajando juntos. La labor de ambos está centrada en varios campos como son el arte (donde el padre juega un papel principal), las matemáticas y la informática. Además han conseguido que confluyan estas tres disciplinas cuando han estudiado las matemáticas asociadas al arte del origami (papiroflexia), campo en el que son reconocidos expertos mundiales, incluso tres de sus obras han entrado a formar parte de la colección permanente del Musseum of Modern Art de Nueva York (MOMA). Pero si la vertiente artística de los trabajos de los Demaine es evidente a partir de las imágenes de sus creaciones en papel, el desarrollo por parte de Erik de esta nueva especialidad, el Origami Computacional, es mucho más que eso. Se trata de un esfuerzo interdisciplinar a caballo entre Matemáticas e Informática. Su interés se centra, principalmente, en problemas relacionados con la geometría asociada al plegado de papel con aplicaciones prácticas  en campos tan diversos como la manufacturación industrial (fabricación de láminas de metal, bolsas de aire, envoltorios de caramelos), Física (nanoestructuras), o  Biología (plegamiento de proteínas).

Erik confiesa que su interés por las matemáticas surgió a partir de los videojuegos. Su padre le comentó que para programar videojuegos tenía que aprender lenguajes de programación y ser bueno en matemáticas y le proporcionó algunos libros empezando por álgebra lineal. En realidad nunca ha abandonado su pasión por los videojuegos y ello le llevo a probar que el juego de Tetris pertenece a la categoría de juegos muy difíciles (es NP-duro encontrar una estrategia ganadora).

Pero además de una mente realmente prodigiosa. Erik es un tío optimista y travieso que disfruta de su trabajo y quiere hacer partícipes a todos de ese goce supremo. No pierde ocasión de bromear sobre hechos matemáticos, como se puede apreciar por ejemplo en esta vídeo en el que, coincidiendo con la celebración del April Fools’ Day (día de las inocentadas), demuestra que P=NP, sufriendo unas terribles consecuencias…

Por último, si se preguntan por qué en todos los congresos la charla de los Demaine e una de las más concurridas de todas, no dejen de ver este vídeo donde además ellos mismos hablan de su historia y hacen… bueno, es mejor que lo vean 😉

Eso sí, este niño grande y brillante es un racionalista incondicional…

There’s nothing Science can’t prove.

Erik Demaine

 

¿Estás de broma?¡La bola no entró!

–¡Punto mío!

–¿Qué dices, Ven? ¡Ha dado en la línea! ¡Eso es dentro!

–¿¿Dentro?? De eso nada, Sal, ha dado fuera de la línea.

–Ha dado sobre la línea –dijo Sal muy seguro, tranquilo y convencido.

Gauss miraba fijamente la línea tratando de posicionarse en aquella discusión. Pero no lo tenía tampoco muy claro. Al fin y al cabo, adoraba a sus dos dueños y no le gustaba tomar partido. Mati se dejaba querer por el sol y la brisa marina pensando en teoremas y conjeturas.

–Que sí, que ha dado sobre la línea, ¿lo ves? –dijo Sal sin perder los nervios.

–No, Sal, ¡ésa es una marca antigua! –Ven estaba cada vez más rojo y nervioso. Se le empezaba a rizar el pelo, no se sabe muy bien por qué.

–Huy, qué acalorados estáis, chicos –Mati salió de su ensoñación matemática–¿Qué os pasa?

–Nada, Mati –dijo Sal –Sólo que Ven está tratando de hacer trampas…

–Nada de eso, Mati –interrumpió el pequeño muy excitado –Ha dado fuera de la línea,  ¡punto mío!

–Que no, Ven, pesado, que ha dado sobre la línea –insistió el gafotas.

–¿¿Estás de broma?? ¡La bola no entró! –Ven estaba cada vez más enfadado, casi tira la raqueta al suelo, pero no lo hizo  porque era un regalo de sus abuelos y no quería romperla.

–Entiendo… –añadió la pelirroja tratando de buscar una salida a aquella situación –Todo depende de decidir si el punto donde la bola tocó el suelo estaba sobre una línea o no…

Mati se quedó cómicamente pensando, los niños la miraban esperando, cada uno por su lado, que le diera la razón. Gauss miraba al mar…

–En Matemáticas es mucho más fácil saberlo, ¿sabéis? –comenzó a decir Mati –Se trata simplemente de usar una ecuación.

–¡Toma! Nosotros ya sabemos ecuaciones, Mati –dijo el pequeño con alegría –Nos enseñaste el otro día.

–Es cierto, Ven –respondió Mati –pero las ecuaciones de las que os hablo, son un poco diferentes, aunque también muy sencillas.

–¿Por qué son diferentes, Mati? –preguntó inmediatamente Sal.

–Porque, por ejemplo, en estas ecuaciones, no hay una sola letra misteriosa, o incógnita, la x –dijo Mati –sino que aparece con una de sus mejores amigas, la y, que también va de incógnita.

–Hum, interesante… –añadió Ven –Así que tenemos dos sospechosas…

–Sí y no –contestó ella.

–¿Sí y no? –Sal estaba cada vez más intrigado y entregado.

–Veréis en realidad de lo que se trata es de saber si un punto está o no sobre la línea o recta, que a los matemáticos  nos gusta llamar rectas a las líneas rectas, porque hay otras líneas que son curvas –Mati hizo una pequeña pausa y continuó –Para ello lo que solemos hacer es dar una ecuación de la recta, que es, podríamos decir, como una contraseña que deben cumplir los puntos para estar sobre ella.

–¿No hay sospechosos entonces, Mati?

–No exactamente, Ven –continuó la gafotas –No se trata de desenmascarar a x y la y para conocer su valor como hicimos con las ecuaciones del otro día, sino comprobar si el punto que elijamos cumple la ecuación (la contraseña) para estar en esa recta.

Los niños seguían mirando a Mati con los ojos brillantes con las raquetas en ristre, esperando que ella continuara contándoles aquella historia de contraseñas para pertenecer al club de la recta.  Gauss se echó a dormir aprovechando que no tenía que ir a buscar las bolas cuando éstas salían despedidas.

–Os lo explico con un ejemplo –propuso Mati mientras sacaba su libreta del bolso de la playa –A ver si así os resulta más fácil

–¡Sí, por favor! –dijo

–Lo primero que necesitamos es un sistema de coordenadas, por ejemplo, cartesianas.

–¿Por qué pones números negativos, Mati? –preguntó Ven.

–Son números enteros, ¿recuerdas? –dijo ella –Para indicar que estamos a la izquierda o por debajo del origen. Los positivos nos indican que estamos a la derecha o arriba del mismo. Y con este sistema de referencia, sabemos las coordenadas de los puntos como cuando jugábamos a los barquitos.

–¡Mola! Como estamos en la playa… –Ven se iba olvidando poco a poco de la polémica bola…

–Voy a dibujar una recta –continuó Mati.

–Para poder conseguir la ecuación de esta recta, es decir, la contraseña para que un punto esté sobre ella, necesito obtener algunos datos de la misma. Para ello vamos a usar, por ejemplo,  a dos miembros de ella, dos puntos que pertenecen a este club. Necesitamos las coordenadas de 2 puntos sobre ella…

–Éste y éste –dijo Sal a la vez que señalaba 2 puntos sobre el cuaderno de Mati.

–El (1,1), le llamaremos A…y el (4,3), le llamaremos B –añadió Mati.

–Muy bien. Ahora –dijo la pelirroja –Voy a darle un nombre y un apellido, unas coordenadas, a la flechita que va desde A hasta B.  A esa flecha le llamaré vector AB.

–¿Cómo se saben las coordenadas de una flecha, Mati? –preguntó Sal intrigado.

–Las coordenadas de una flecha o vector serán las siguientes: la primera coordenada nos indica cuánto nos movemos hacia la derecha, si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa; la segunda coordenada nos dirá cuántos pasos damos hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.

Los niños se pusieron a contar los pasos que indicaban el vector AB de su dibujo.

–Tres pasos a la derecha… –mascullaba Ven –y dos hacia arriba…¡(3,2), Mati!

–También se pueden calcular las coordenadas del vector AB restando a las coordenadas de B las coordenadas de A –les contó Mati.

–¿Cómo se restan coordenadas, Mati? –quiso saber Sal.

–Ah, claro. La primera con la primera y la segunda con la segunda –respondió ésta.

–Muy, muy bien, chicos –la pelirroja estaba orgullosa de sus amiguitos — Y claro,  las coordenadas del punto B es igual a la suma de las coordenadas de A y del vector AB.

–¡Toma, toma, toma! ¡Es verdad! –el pequeño ya estaba alucinando.

–¿Qué pasa si sumamos al punto A dos veces el vector AB? –preguntó ella.

Los niños se quedaron pensando y mirando al dibujo, hasta que, finalmente, Sal dijo:

–Que andaríamos 6 pasos a la derecha y 4 hacia arriba y llegaríamos… a este punto –señaló el gafotas sobre el dibujo –Al de coordenadas (7, 5).

–¿No es el mismo resultado que si hacemos esta cuenta? –cuestionó Mati a los niños.

–¿Cómo se multiplica 2 por (3,2)? –preguntó el gafotas — ¿A la primera coordenada? ¿O a la segunda?

–A las dos –respondió la gafotas.

–¡TOMAAAAAAAAAAAAA! –gritó Ven entusiasmado –Sale (7,5)

–Claro –continuó Mati sonriendo –Todos los puntos de esa recta se pueden conseguir sumando a A el vector AB un número de veces o restándolo.

–¿Cómo que restándolo?

–A ver, ¿hacéis este cálculo? –les pidió

Los niños se pusieron manos a la obra.

–¿Cómo se hace 1-6, Mati? –preguntó el pequeño.

–Andando 6 pasos a la izquierda en la regleta, ¿no te acuerdas? Y 1-4 se calcula dando 4 pasos a la izquierda del 1 también en la regleta.

–Huy, es verdad… –se disculpó Ven –A ver qué nos sale… (-5, -3)… ¡Toma! ¡Es verdad! ¡También está sobre la recta! –el pequeño Ven disfrutaba cada descubrimiento.

–Bueno, pues ya sabemos que para que un punto esté sobre la recta, debe cumplir esa contraseña o condición: que debe ser igual que el punto A más el vector AB multiplicado por un número. O sea que la ecuación que debe cumplir un punto (x,y) para pertenecer a esta recta es la siguiente

–Y eso, ¿cómo se usa, Mati? –preguntó sal muy serio.

–Vamos a ver, decidme un punto sospechoso de pertenecer a la recta…

Los niños miraron el dibujo.

–El (7,5) –propuso Ven McEnroe.

–Muy bien –dijo Mati –tomamos x como 7 e y como 5 y susitituimos en la ecuación. (7,5) pertenecerá a la recta si k nos da el mismo valor en las dos ecuaciones.

–Efectivamente, (7,5) cumple la ecuación, para el valor de k igual a 2. Es un miembro de la recta –concluyó Mati.

–¡Toma, toma, toma! –el pequeño saltaba de alegría.

–Ahora el (10, 9) –propuso Sal animado.

–Vamos a ver si (10, 9) se sabe la contraseña…

–¡Ja! ¡Te pillamos (10,9)! Tú no eres del club de la recta… –Ven estaba disfrutando con aquello.

–Es alucinante, Mati…–Sal miraba al cuaderno y se ajustaba las gafas.

–Las Matemáticas siempre lo son –respondió ella con un guiño –Pero hay otras formas de detectar a los miembros de una recta. Os las enseñaré. Vamos a dejar sola a k en las dos ecuaciones como ya sabemos, deshaciendo en orden inverso todas las operaciones que la ocultan…

–Cuando igualamos las dos ecuaciones porque las dos valen lo mismo, k,  tenemos una nueva ecuación de la recta, que se llama ecuación continua.

–Así, cada vez que tengamos dos puntos de una recta podemos calcular suu ecuación continua sin más que hacer esto

–¡Qué chulo! –exclamó Sal — ¿¡Cómo la usamos para saber si, por ejemplo, el (1,0) pertenece al club?

–Muy fácil –dijo Mati –Cambiamos x por 1 e y por 0 y vemos qué pasa.

–Ajá, no eres de nuestro club, forastero… –dijo Ven cuando descubrieron que el (1,0) no pertenecía a la recta.

–¿Os gusta, chicos? –continuó la pelirroja –Pues aún podemos escribir la ecuación de la recta de otra forma.

–¡Venga! –la animó Sal.

–Usando nuestras técnicas de desenmascaramiento vamos a tratar de llevar todo al primer miembro de la ecuación, ya veréis…

–Ya tenemos otra ecuación de la recta –dijo Mati –La ecuación implícita.

–Prueba con el (4,2), Mati –pidió Ven ansioso.

–¡¡Yo! ¡Yo lo hago! –intervino Sal –Cambio x por 4…cambio y por 2

 

–¡Otro! Hemos pillado a otro que no está  –Ven lo pasaba en grande.

–Pues además de decirnos si un punto pertenece o no a una recta, con esta ecuaciones podemos calcular todos los puntos sobre ella que queramos –dijo Mati.

–¿¿Cómo?? –preguntaron los dos niños a la vez.

–Elegid un valor para la x –les propuso.

–¡10! –gritó Ven.

–Estupendo –contestó la pelirroja –ponemos 10 en lugar de x y vamos a ver cuánto vale y

–¡Toma, toma, toma! ¡CÓMO MOLA! –a Ven se le salían los ojos de las órbitas.

–¡Me encanta, Mati! –Sal estaba también entusiasmado.

–Pues aún hay más…–respondió ella con tono de misterio –pero ésas la dejaremos pendientes... Ahora vamos a dar un paseo por la playa.

–¡Vale! –dijo Ven –Pero que sepáis que la bola no entró…

 

Matemáticas y xenofobia

La matemática posee no sólo verdad, sino belleza suprema; una belleza fría y austera, como aquella de la escultura, sin apelación a ninguna parte de nuestra naturaleza débil, sin los adornos magnificos de la pintura o la música, pero sublime y pura, y capaz de una perfección severa como sólo las mejores artes pueden presentar. El verdadero espíritu del deleite, de exaltación, el sentido de ser más grande que el hombre, que es el criterio con el cual se mide la más alta excelencia, puede ser encontrado en la matemática tan seguramente como en la poesía.

Bertrand Russell

 

Después de leer esta cita de Russell es difícil creer que algo tan sumamente bello y sublime pudiera ser usado en pro de algo tan deshumanizado como la xenofobia, pero, citando a otro grande, cosas veredes, amigo Sancho, que farán fablar las piedras… (Cita, por cierto,  frecuentemente atribuida al Quijote, aunque hay quién apunta que es aún más antigua).

Lamentablemente, sí.

Ahora pega aquí aquella cita célebre de Plauto sobre lobos y hombres

Lobo es el hombre para el hombre, y no hombre, cuando desconoce quién es el otro

Tito Maccio Plauto

 

Hoy voy a compartir con vosotros  una historia donde las Matemáticas fueron usadas, lamentablemente, como herramienta para llevar acabo una purga absolutamente xenófoba.

Conocí la historia por un artículo que llegó a mis manos a través de Twitter, “Los problemas judíos”, podéis encontrarlo también en SlideShare.

Lo que Tanya Khovanova nos desvela en su artículo, Los problemas judíos,  es una colección de problemas que el Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú proponía a los aspirantes judíos a dicha Universidad, para evitar que éstos u otros grupos de personas indeseables accedieran a ella. Para evitar reclamaciones y/o impugnaciones al proceso, todos estos problemas tiene una solución muy sencilla pero difícil de encontrar, puesto que era necesaria una idea feliz que te condujera trivialmente a resolverlo.  Nadie podía alegar que eran ejercicios irresolubles o muy complicados…

Estos problemas son conocidos también con los intuitivos nombres de ataúdes o asesinos. Y sí,  muchos aspirantes judíos a la citada universidad tuvieron que enterrar sus aspiraciones en alguno de estos ataúdes hechos, no de madera de pino, sino perversamente construidos con Matemáticas.

Si uno intenta resolver algunos de estos problemas, puede que no le resulten tan complicados, pero hay que decir que el procedimiento para estos aspirantes era ir resolviendo un problema tras otro hasta fallar en alguno, momento en el que eran eliminados, con lo que las condiciones de contorno eran peores que las que tenemos nosotros en casa si lo intentamos por el puro gusto de resolver un reto matemático.

Por poner un ejemplo sobre uno de estos problemas ataúdes propuestos a modo de Selectividad a aquellos alumnos judíos, vemos éste:

Problema 20:

Construir (con regla y compás) un cuadrado conocidos un punto de cada uno de sus 4 lados.

Vamos a ver cómo se resuelve este problema para ver que efectivamente no es tan complicado y, de paso, por si queréis proponerlo sobre una servilleta en un restaurante mientras os sirven la comida. Pero, por favor, con ningún fin xenófobo.

Lo que tenemos como dato de entrada son 4 puntos que podemos llamar, echando mano de nuestra originalidad e imaginación, A, B, C y D, y sabemos que cada uno de ellos está sobre el lado de uno de los lados del cuadrado buscado. Se trata, por lo tanto, de dibujar, usando regla y compás, dicho cuadrado.

Para ello, primero trazamos el segmento que une los puntos A y C. 

A continuación, desde el punto B, trazamos un segmento perpendicular al segmento AC, y ponemos un punto D’ sobre ese segmento, de forma que la distancia entre B y D’ sea la misma que entre A y C. Ése nuevo punto, D’, está sobre el mismo lado del cuadrado que D, es cuestión de análisis de ángulos.

Ya tenemos la orientación de uno de los lados del cuadrado, la de la recta que pasa por D y D’. Se trata simplemente ya de dibujar la recta DD’, una paralela a ésta por B y dos perpendiculares a la misma, una por A y otra por C ….

 

Y así se obtiene el cuadrado buscado.

Hay muchos más problemas judíos, ataúdes o asesinos. Si queréis ver más os recomiendo este trabajo de Khovanova y Radul que fue el que me descubrió la existencia de los mismos.

Lo que me apena de esta historia es el hecho de que estos problemas tan bellos hayan sido cómplices de la maldad humana y lo que me inquieta es que no es una historia tan antigua, de hace poco más de 40 años. Esta página de la misma Tanya Khovanova aporta enlaces a documentos sobre este espisodio.

Sobre este mismo asunto, se ha publicado el libro You  failed your math test, Comrade Einstein: adventures y misadventures of young mathematicians en el que el matemático Ilan Vardi presenta y compara los problemas mencionados en esta entrada con los de la Olimpiada Matemática del año 2000. Incluye además un ensayo El genocidio intelectual explicando el trasfondo histórico de esta práctica llevada a cabo en la URSS en las décadas de los 70 y 80.

 Nuestra historia también tiene su heroína, Bella Abramovna Subbotovskaya, que ante esta situación de injusticia con los judíos fundó en 1978, con ayuda de otros colegas,  la Universidad del Pueblo Judío  cuyas primeras clase se impartieron en el propio apartamento de Subbotovskaya. Sus amigos la describen como fuerte, enérgica y reivindicativa, al mismo tiempo que cálida, bondadosa y optimista. Todos resaltan su enorme determinación. Bella murió, de forma extraña,  cuando sólo tenía 44 años.

George G. Szpiro, escribió en este artículo,  Bella Abramovna Subbotovskaya and the Jewish People Unniversity, esto sobre ella:

Hace exactamente hace 25 años, el 23 de septiembre de 1982, alrededor de las 11 de la noche, en una calle oscura de Moscú, se produjo un accidente. Una mujer caminaba por la acera. Acababa  de visitar a su  madre y volvía a su casa. Aquella era una calle tranquila por la que, rara vez, pasaba un vehículo a esa hora. De repente, apareció un camión a gran velocidad, atropelló a aquella mujer y se dio a la fuga. Minutos más tarde, otro coche se detuvo junto a la víctima unos instantes y también desapareció.  Apareció una ambulancia, ¿quién la llamó?, y llevó a la víctima directamente a la morgue. El funeral se celebró al día siguiente, en privado. Nadie habló, no se pronunció ningún elogio. Los asistentes al mismo sólo cuchicheaban entre ellos, observados por algunos hombres con aspecto de oficiales. Al final del funeral, todos se dispersaron en silencio.  El conductor de aquel camión que se había dado a la fuga nunca fue hallado y se cerró el caso. Aquel accidente tenía todos los ingredientes de un golpe de la KGB.

La víctima fue Bella Abramovna Subbotovskaya, una matemática de 44 años. Los días previos a su muerte había sido convocada en varias ocasiones por la KGB y sometida a interrogatorios. El crimen sobre el cuál fue interrogada fue la creación de la Universidad del Pueblo Judío

Hasta aquí lo que sé de esta historia. Otra muestra más de la estupidez humana y ese afán de etiquetar a los humanos y clasificarlos en grupos en función de criterios tan absurdos como etnias, ideologías…o incluso por sus preferencias a la hora de practicar sexo.  No concibo, posiblemente sea torpe, cómo puede etiquetarse una persona en función de su tendencia sexual. Si ya no lo entiendo cuando se le intenta etiquetar en función de su pasaporte o el color de su piel, que es el mismo 24 horas al día, ¿cómo podría hacerlo en función de algo puntual y absolutamente íntimo? En fin… A veces pienso que no somos tan inteligentes como pensamos. El caso es que este tipo de decisiones me inquieta y me producen nerviosismo y desasosiego, y me evocan, irremediablemente, historias terribles que todos conocemos sobre discriminación llenas de sufrimiento y dolor humano.

 

Esa letra tan sospechosa…la x

–Me parece que…va a ser la señorita Amapola…

–Ven, no digas tus sospechas en voz alta…

–¿Voy bien, Sal?

–No se puede hablar, Ven, concéntrate en el juego.

–Es que ya sé quién y con qué, creo, vamos, porque el candelabro…

–Te recuerdo que tienes que resolver las 3 incógnitas.

–Ya, ya lo sé, ¡me encantan las incógnitas!

–¡Y a mí! –Mati acababa de llegar.

–¡Hola, Mati! –saludaron los dos niños con alegría.

–¡Hola guapos! Cuando os escuché pensé que estabais resolviendo ecuaciones –dijo la pelirroja guiñando un ojo.

 

 

–No, no, estamos jugando al Cluedo –respondió Ven –Yo soy el profesor Mola –concluyó con una sonrisa de pícaro.

–El profesor Mora, Ven –le corrigió su hermano.

–No, el profesor Mola, que mola más –el pequeño cerró los ojillos y sonrió apretando los dientes mostrando la última baja de su dentadura.

–¿Qué son ecuaciones, Mati? –preguntó Sal que no había dejado de pensar en aquella palabra que ella había dicho.

–Una ecuación es, más o menos, como un Cluedo matemático… –comenzó diciendo la gafotas.

–¿Con sospechosos? –preguntó Ven con los ojos como platos.

–Bueno, las más sencillitas, con sospechosa, la x –dijo Mati.

–¿La x? ¿La letra x? ¿O hay un número especial como π que se llama x? –la cabecita de Sal comenzaba a dar vueltas.

–¿Queréis que os enseñe a resolver unas ecuaciones de las más sencillas? Es casi como jugar a los detectives –propueso ella.

–¡Sí! –respondieron los niños provocando un sobresalto al pobre Gauss que estaba mirando el tablero del juego con cara de detective sagaz.

–Os voy a proponer un caso que tendréis que resolver como buenos detectives. Tendréis que desenmascarar a la x para ver quién se esconde bajo esa máscara –añadió Mati hablando lentamente con voz misteriosa.

–Tranquila, pequeña, estás frente a los 2 mejores detectives del mundo… –respondió  Ven haciéndose el interesante.

–Comencemos, señora, ¿qué sabe del caso? –continuó Sal en su papel de sabueso.

–Pues sé que la sospechosa fue vista primero multiplicada por un 4 –comenzó Mati con voz de miedo e indefensión –Más tarde se le sumó un 3

–Hum, qué mal huele este asunto… –interrumpió Ven.

–Un testigo me dijo que todos juntos eran iguales que un 39 –terminó de decir ella.

–¿Algo más, señora? –preguntó Sal mirando por encima de sus gafotas.

–No, señor detective, es todo lo que sé ¿Podrán resolver el caso?

–Ni idea… –respondió Ven desmoralizado.

–Podemos ir probando… –empezó Sal –Esa x,  ¿es un número natural o puede ser negativo? ¿Podría ir con decimales?

–¿Cuáles eran los naturales? –preguntó Ven –Los que sirven para contar, ¿no?

–Eso es, Ven –respondió Mati –Veo que recuerdas el cuento con las ovejitas y los conjuntos numéricos –continuó sonriendo — Sí, Sal puede ser negativo y puede tener decimales. Por lo tanto, probando, puede que no acabaras nunca… Se puede hacer más rápido, ¿queréis que os enseñe?

–¡Sí! –la respuesta de los niños estaba clara.

–Pues bien, vamos escribir en nuestra libreta todos los datos que tenemos. Sabemos que iba multiplicada por 4, que se le sumó un 3 y que todos así eran un 39. Escribamos todo esto. Como tenemos que escribir la letra x, para no confundirnos con el signo de multiplicar, éste, el signo de multiplicar lo escribimos como un puntito.

 

–Esto que hemos escrito es una ecuación. Una ecuación lineal con una incógnita. La llamamos lineal porque las incógnitas, en este caso, sólo una, la x, aparece sin estar elevada a ninguna potencia. Porque en otras ecuaciones, las incógnitas pueden aparecer aún más enmascaradas elevadas a otras potencias:2, 3… –les explicó Mati –Para desenmascarar a la x, que es nuestra incógnita, vamos a deshacer todo lo que ella hizo, en orden inverso,  hasta conseguir llegar hasta 39. Para ello, como lo último que hizo fue sumarse un 3, vamos a deshacerlo restando, que es la operación inversa de la suma. Pero, ¡ojo!, tenemos que restar lo mismo en los 2 lados del signo igual. Vamos a llamar primer miembro a lo que aparece a la izquierda del signo igual y segundo miembro al  que aparece a la derecha. Como los dos miembros son iguales, vamos a ir haciendo las mismas operaciones en los 2 hasta que consigamos dejar sola a la x y así poder descubrir quién es, ¿vale? si no hacemos lo mismo en los dos miembros estaremos destruyendo pistas de la escena.

 

–¡Vale! ¡Qué emoción! –Ven estaba excitado, Sal miraba sin pestañear, Gauss seguía mirando el tablero del Cluedo. Es un perro un poco raro…

–Si restamos 3 en ambos miembros, llegamos a la conclusión de que 4 multiplicado por x es igual que 36 –siguió la pelirroja.

–Se te olvidó poner el punto entre 4 y x –dijo Ven,

–Sí, pero en realidad, en Matemáticas solemos hacerlo. Si no escribes ningún signo se entiende que estás multiplicando, y en realidad, expresa mejor lo que queremos decir. Es decir, decimos 4x y pensamos en eso, en que tenemos 4 veces a la x.

–Me gusta –dijo Sal –¿Y ahora?

–Ahora, como la x se ha escondido multiplicándose por 4, la sacamos de su escondite con la operación inversa a la multiplicación –siguió Mati –¿Qué es lo inverso de multiplicar?

–¡Dividir! –dijeron los hermanos al unísono.

–Efectivamente, chicos. Dividimos los dos miembros por 4 para desenmascarar a la sospechosa…

–¿Por qué tachas los 4s, Mati? –preguntó el gafotas.

–Porque multiplicar y dividir un número, en este caso la x, por el mismo número, es como multiplicar por 1, o sea, no hacer nada.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –gritó Ven excitado –Sabía que había sido el 9… A mí no se me engaña tan fácilmente…

–No mientas, Ven… –respondió su hermano –Me gusta mucho, Mati ¿nos propones otro caso?

–¡Claro! Nuestra siguiente sospechosa fue un día vista multiplicada por 7 y a ese producto le restaron 4. Al día siguiente, vieron que primero se multiplicó por 4 y después se sumó 5. Ahora viene lo interesante, los dos días llegó  al mismo resultado –les contó Mati con voz muy misteriosa.

–Y, dígame, señora, ¿cuál era ese resultado? –preguntó Sal Holmes.

–Nadie lo recuerda –dijo Mati bajando la voz hasta el susurro.

–Entonces no podremos ayudarla, señora –añadió Ven Watson.

–¿Están seguro de ello mis sabuesos? –preguntó Mati.

–Absolutamente –confirmó el pequeño Watson.

–Si me permiten ayudarles… –Mati guiñó un ojo.

–Por favor… –dijo Sal haciendo una pequeña reverencia cómica.

–Vamos a escribir lo que sabemos en nuestra libreta de detectives.

 

–Pero, ahora, la x está en los 2 miembros de la ecuación –dijo Sal angustiado.

–Efectivamente, Sal. Tenemos 7x en el primer miembro y 4x en el segundo. Vamos a llevarlas todas al primero quitándolas del segundo. como el segundo tiene 4x, restamos 4x en los dos, siempre en los 2 para no destruir pistas.

 

 

7x menos 4x son 3x y ya tenemos una ecuación como la de antes –dijo sonriendo la pelirroja.

–Déjanos a nosotros, Mati, por favor –pidió Sal.

–Toda vuestra, chicos –respondió ella.

–Suma  4 en los dos miembros, Sal –dijo Ven a su hermano excitado –Para delatarla.

 

—¡Ahora divide por 3, para dejarla sola! –gritó Ven.

 

 

–¡Toma, toma, toma! –Ven estaba excitado. Sal no podía dejar de sonreír. Sí, Gauss seguía mirando el tablero del Cluedo. Él es así.

–Pero, bueno… Sois los mejores detectives del mundo –dijo Mati sonriendo orgullosa –¿Os atrevéis a resolver ésta?

Los dos niños se pusieron manos a la obra mientras Gauss…bueno, ya sabéis dónde seguís nuestra mascota.

–Huy, ¿ahora qué hacemos Sal? –preguntó el pequeño preocupado.

–Pues..yo creo que si la x se ha dividido por 4, para delatarla hay que hacer lo contrario de dividir… –pensaba Sal en voz alta — es decir, multiplicar por 4 ambos miembros.

Ven buscó la confirmación en la mirada de Mati que asintió con un guiño y una sonrisa.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo molan las ecuaciones! –Ven saltaba sobre sus pies.

–Mucho. Es como jugar al Cluedo –en la cara de Sal lucía una enorme sonrisa.

–Me alegro mucho de que os gusten –añadió Mati –Otro día os explicaré otras ecuaciones si os apetece.

–¡Claro que nos apetece! –respondió Sal.

–Venga, ¿jugamos una partida al Cluedo, chicos?

–Vale, pero vamos a fastidiar a Gauss que parece que está a punto de resolver el caso anterior…

El teorema más importante del siglo XX

teorema.

(Del lat. theorēma, y este del gr. θεώρημα).

1. m. Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

DICCIONARIO DE LA LENGUA ESPAÑOLA – Vigésima segunda edición

 

Ésta es la definición de teorema que encontramos en el Diccionario de la Lengua Española de la R.A.E. Si queremos tratar de explicarlo de una forma más llana y asequible para todos los públicos, podríamos decir que un teorema es un resultado matemático, una afirmación,  de un hecho relevante que se ha demostrado basándose en otros teoremas (anteriormente demostrados) o también en axiomas, que son declaraciones aceptadas por todos.

Estoy segura que todos los que están leyendo esta entrada conocen más de un teorema. Por ejemplo, el famoso teorema de Pitágoras gracias al cual, por ejemplo, podemos calcular la distancia entre 2 puntos en un plano, sin más que conocer sus coordenadas, como ya vimos por aquí hace no mucho tiempo. A lo largo de la historia muchos matemáticos han dedicado sus esfuerzos a demostrar teoremas consiguiendo con ello el avance de las Matemáticas, y como consecuencia, sirviendo de soporte a otras Ciencias,  permitiendo y contribuyendo al avance de nuestra civilización.

Ahora bien, ¿se puede uno plantear hacer una clasificación de teoremas en función de su importancia? ¿Cómo se mide la importancia de un teorema? Parece razonable aceptar que una medida de la importancia de un resultado matemático es la cantidad de veces que éste ha sido utilizado. Pero aunque razonable, es una medida que es imposible determinar, ¿cómo saber cuántas veces se ha utilizado el teorema de Pitágoras desde su prueba hasta nuestros días? No, no se puede calcular.

¿Y si nos restringimos al siglo XX? En el siglo pasado y gracias a las publicaciones científicas, tenemos mejor catalogados los trabajos de matemáticas y de cualquier otra ciencia que fueron publicados. Es por esta razón por lo que la comunidad científica acepta como medida del impacto de un trabajo de investigación el número de veces que éste ha sido citado en otros trabajos. Existen bases da datos que pueden ser consultados por los investigadores para conocer el impacto, es decir, el número de veces que su trabajo o cualquier trabajo, ha sido citado por otros. Si queremos hacer una analogía con redes sociales, en algún sentido y con muchas comillas, es como medir la importancia de un tweet en Twitter por la cantidad de veces que ha sido retuiteado, o en Facebook, por la cantidad de veces que ha sido compartido en los muros de otros.

Henri Poincaré

Alguien podría pensar que en lugar de mirar estos indicadores numéricos, se podrían clasificar los resultados matemáticos acudiendo a la voz de expertos en Matemáticas que los evaluasen en función de criterios tales como dificultad, trascendencia… Pero debido a la diversificación de las Matemáticas, sobre todo en el siglo pasado, no existe ningún matemático que pueda ejercer esta  tarea porque ninguno conoce toda la Matemática, parece ser que fue Poincaré el último matemático que conocía y entendía toda la matemática de su época.

Así las cosas, no nos queda otra opción razonable, si queremos identificar el teorema más importante del siglo XX, que atender al  número de veces que éste ha sido citado en otros trabajos.

Cuando planteas la pregunta “¿cuál es el teorema más importante del siglo XX?” son muchos los que nombran al Último Teorema de Fermat o el Teorema de los 4 Colores, por ejemplo, puesto que han sido éstos dos teoremas, sobre todo el primero, que, independientemente de la importancia del resultado, han sido bastante mediáticos. Sin embargo, ninguno de los 2 ha sido el teorema más importante del siglo pasado si atendemos como medida el número de veces que ha sido citado. Posiblemente debido al hecho de que se demostraron cuando el siglo estaba bastante avanzado: el último teorema de Fermat se demostró en 1995 y el teorema de los 4 colores en 1976.

 

Kazimierz Kuratowski

El teorema del siglo XX que más veces ha sido citado es el Teorema de Kuratowski. Este teorema sirve para caracterizar qué grafos son planos. Ya hablamos en esta misma sección de grafos planos y de este teorema, cuando hablamos del diseño del mapa del metro de Londres. Un grafo es plano si se puede dibujar sin que las líneas que unen a los puntos se corten entre ellas. Si tenemos, por ejemplo, el siguiente grafo, ¿es plano?

Efectivamente, lo es, porque se puede dibujar sin cruces entre las líneas como podemos ver en la figura siguiente:

Pero no siempre es tan inmediato decidir si el grafo es plano o no, porque, por ejemplo, puede tener muchos vértices y muchas conexiones. Lo que asegura el teorema de Kuratowski es que los grafos planos son aquellos que no contienen ni al grafo K5 ni al grafo K 3,3, que son los que aparecen en la figura siguiente.

El hecho de que este teorema haya sido tan citado desde su publicación en 1930 se debe también a la aplicabilidad de la Teoría de Grafos en general y del estudio de la planaridad de los mismos en particular, no sólo al diseño de circuitos como ya comenté anteriormente, sino también en multitud de problemas relacionados con la Informática Gráfica.

Pues bien, el teorema más citado del siglo XX lleva el nombre del matemático polaco Kazimierz Kuratowski por cuestión de días. Dos matemáticos norteamericanos, Orrin Frink y Paul A Smith, demostraron el mismo resultado, independientemente y casi a la vez, pero como el de Kuratowski ya estaba publicado, el trabajo de Frink y Smith nunca se publicó. Se quedaron a las puertas de dejar su nombre al teorema más importante del siglo XX.

Os esperamos en Alicante

–Estoy un poco nervioso, Sal.

–Yo también, Ven…Hay un montón de cosas para ver allí en el StAS.

–¿Y si le decimos a nuestros amigos que nos leen en este blog que nos acompañen?

–¡Vale! Pero esperaremos a que llegue Mati, para estar todos.

–Ya estoy aquí, chicos –se escuchó a la pelirroja entrando por el salón.

–¡Hola, Mati! –dijeron los 2 hermanos al unísono, Gauss se enredó entre las piernas de la gafotas.

–Queremos decirle a nuestros lectores que vengan a vernos a nuestro stand del StAS –añadió Ven.

–Vamos allá, ¡claro!

 

 

Queridos niños, jóvenes, adultos, abueletes, curiosos todos:   Los niños y yo misma nos estamos poniendo nerviosos con la impaciencia y la emoción de ir al Street Alicante Science. Tenemos muchas ganas de jugar en directo con todos los que se acerquen por nuestro stand el sábado 12 de Mayo con ganas de aventuras, bueno de mateaventuras. No hace falta ni cantimplora ni linterna, sólo ganas de pasarlo bien jugando con las mates.

Si aún no has leído nuestras aventuras, las que publican Clara y Raquel, no pasa nada. Tampoco hace falta, porque las 2 autoras estarán en el stand de Mati y sus mateaventuras para explicaros la magia que se esconde detrás de cada juego. Y también estarán por allí Sal y Ven por si queréis que os den una pista para resolver los retos 😉 Pero ellos sólo estarán un rato, que no se quieren perder el resto de ¡la concentración de Ciencia más grande de la Historia de España! Eso sí,  Clara y Raquel se quedarán todo el tiempo para jugar con los que queráis acercaros por el stand  ¡Y podréis ver cómo nos dibuja Raquel y salimos así de guapos!

No vamos a desvelar todo el misterio, pero si os daremos algunas pistas…

Os enseñaremos a usar la magia de las matemáticas y desarrollar poderes de adivinación.

¿No me creéis? Pues os reto a dibujar unos mapas muy especiales pero, ¡ojo!, usando sólo 4 colores diferentes, ¿eh?

Dame 4 colores y pintaré el mundo

Y ya que tenéis el lápiz en la mano, ¿por qué no intentáis hacer este dibujo sin levantarlo del papel y sin pasar dos veces por la misma línea?

 

7 puentes para un sólo paseo

Si adivinas de qué color es tu sombrero, te regalo un caramelo. Y si no lo adivinas, también, pero sólo uno, ¿eh?, que no quiero que luego te duela la tripa 😉

15 sombreros blancos y negros

Ya os he dicho que no os lo vamos a contar todo en esta entrada, pero si os cuento un secreto, ¿sabréis guardarlo? ¿Queréis  que os  enseñemos a cifrar mensajes para jugar a los espías y detectives? Es muy fácil, ya veréis.

¡Más de 17 formas de ocultar un secreto!

Si eres valiente y te gustan nuestra mateventuras, estaremos encantados de jugar contigo en esta ocasión sin precedentes en España, en un inmenso parque temático en el que la Ciencia sale a la calle de la mano de gente que la conoce y, por lo tanto, la adora. Seguro que descubres muchas cosas que te maravillan, ¿te lo vas a perder? Eso sí, cuidado con según qué expresiones utilizas en los experimentos, que serás un científico…

 –¡Qué ganas tengo ya de ir,  Mati! –afirmó Sal.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –el pequeño  Ven estaba cada vez más nervioso y Gauss no dejaba de mover su cola con tanta emoción.

–Yo también estoy deseándolo, chicos –respondió Mati –Vamos, echadme una mano, tenemos que terminar de prepararlo todo.

 

Estar en el sitio adecuado en el momento adecuado

Hace poco tiempo un amigo invisible, de estos que nos hacen regalos alrededor del solsticio de invierno, me regaló un libro de pasatiempos matemáticos de un tal Ivan Moscovich que, tengo que reconocer, no conocía. El libro, BrainMatics, es una recopilación de rompecabezas y acertijos matemáticos que según el propio autor es un homenaje a Martin Gadner, posiblemente uno de los mejores divulgadores de matemáticas del mundo. Lo que sí me gusta del libro, principalmente, es la variedad de temática en los problemas visitados y el intento del autor de hacerlos de forma visualmente atractiva. Posiblemente, gracias, como Moscovich dijo en una entrevista, a su profesor de matemáticas de secundaria que le enseñó matemáticas con rigor, con la mirada en el arte y a través de historias de ciencia ficción. Lo que no me gusta de Brainmatics  es que no me parece claro explicando  ni los resultados matemáticos previos al rompecabezas, y en ocasiones, ni siquiera el propio pasatiempo. Y es una pena porque algunos son pasatiempos muy interesantes y divertidos que demuestran una innegable curiosidad y  entusiasmo por las Matemáticas así como una potente imaginación por parte del autor. 

El hecho es que al caer el libro en mis manos, aparte de descubrirme rompecabezas de fuerte contenido matemático que no conocía, despertó en mi la curiosidad por el autor, a raíz, sobre todo, de la anécdota que cuenta al principio del citado libro y que es la que ha motivado el título de este artículo.

Ivan Moscovich aparece en casi todas partes como inventor de juegos. En esta entrevista Igor Goldkind sugiere que su propia vida, la de Moscovich es un rompecabezas desconcertante. De padre húngaros, el autor de Brainmatics nació en un pequeño pueblo servio tras la huída de sus padres de Hungría al terminar la Primera Guerra Mundial. Con 17 años fue deportado con sus abuelos y su madre a Auschwitz, donde sus abuelos fueron conducidos directamente al crematorio. Pero Moscovich logró salir con vida de aquel terrible campo de exterminio y dos años después era él mismo el que controlaba un equipo compuesto por oficiales y soldados alemanes, algunos de las SS.  Sin embargo, a pesar de la rabia contenida y del odio que éstos habían sembrado en lo más profundo de su interior,  concentró todo sus conocimientos técnicos y toda su energía en  conseguir  reconstruir el sistema ferroviario de Yugoslavia tras la guerra.

 

Pues bien, la anécdota a la que hace unas líneas hacía referencia explica cómo por estar en el sitio adecuado y en el momento adecuado, este inventor de juegos pudo salir con vida de aquella macabra experiencia. Una vez en Auschwitz, Ivan fue conducido a otro campo de trabajos forzados.  Las condiciones de trabajo en el mismo, como se pueden imaginar, eran de todo menos dignas. Según el propio Moscovich, los nazis calculaban el abstecimiento para que los trabajadores del campo sobrevivieran durante sólo seis meses y luego ser sustituídos por nuevas adquisiciones. A causa de esto, a los cuatro meses de estar allí, empezó a encontrase muy deteriorado. Fue entonces cuando tuvo una infección en uno de los dedos de su mano izquierda que le impedía continuar con su trabajo en el citado campo. La infección fue avanzando y una mañana tuvo que quedarse en el campo con los enfermos. Cuenta Moscovich que alguien de las SS se apiadó de su dedo y le permitió quedarse en su barracón para que le operara el médico del campo y que, tras la operación, se quedo solo en el campo, desierto a esa hora del día. Se oían rumores por aquellos días entre los prisioneros del campo sobre un posible selección de prisioneros débiles o inútiles, para ser conducidos al crematorio con el fin de conseguir espacio en los barracones para los nuevos fichajes. Pensaba Ivan sobre ello esa mañana, solo en el campo de trabajo, en medio de un gigantesco patio en donde intentaba parecer que estaba barriendo con una escoba. De pronto, vio cómo se abrían las puertas del campo y cómo un coche de altos mandos entraba a gran velocidad y se dirigía inexorablemente hacia él; se quedó quieto, helado, atónito, temiendo lo peor. El coche frenó justo al llegar a su altura y un oficial de las SS, salió del coche, lo agarró con violencia por el cuello, lo tiró en el maletero del coche y salieron del campo disparados. No entendía el porqué de ese secuestro, supongo que en esa circunstancias tampoco uno trata ya de entender nada ante tamaña masacre humana. Fueron dos horas de viaje en aquel coche hasta que llegaron a otro campo, del que aquel oficial era el comandante. No fue hasta pasado un tiempo cuando descubrió qué había pasado. Al parecer se había fugado un prisionero de ese mismo campo unos día antes y el comandante había preferido robar un prisionero a otro campo antes que informar a sus jefes de una fuga bajo su mando. El comandante tenía que cuadrar sus cuentas y él, Ivan Moscovich, fue el número que le faltaba. Este hecho le salvó de morir, porque tras su liberación supo por un prisionero de su anterior campo que aquella misma noche, le noche del día en que él había sido raptado, muchos prisioneros fueron seleccionados y conducidos al crematorio.

 

Las matemáticas de la muerte, las matemáticas de aquella locura, lo salvaron, por estar en el sitio adecuado, en el momento adecuado.

 

 

 

¡Esto no es lógico!

–No, Sal, si la oruga está loca, también el lagarto está loco.

–Pero Mati me dijo que no, que el lagarto estaba cuerdo, porque la oruga estaba loca y mentía.

–Entonces  no tiene solución, Sal, porque si la oruga miente, es que está cuerda, porque ella dice que está loca. Pero si miente, está loca, porque el loco siempre miente.

–Pues… es verdad, Ven…es un lío… pero Mati me dijo que el lagarto estaba cuerdo. Y Mati no miente.

Sal y Ven estaban dándole vueltas al acertijo de la oruga y el lagarto que Mati les contó aquel día.

La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, ¿el lagarto está cuerdo?

Los ojos de Gauss se perdían en algún punto del infinito perruno posiblemente tratando de concretar su versión del asunto.

–A lo mejor Mati se equivocó, Sal.

–Mati no se equivoca nunca, Ven.

–Huy, eso no es cierto, chicos –Mati acababa de llegar –Todos nos equivocamos y cuando eso ocurre lo que tenemos que hacer es rectificar y si hemos hecho daño a alguien, pedir humildemente perdón.

–¡Hola, Mati! –dijo Ven con alegría.

–Hola, Mati –saludó Sal aún pensativo. Gauss se acercó a la pelirroja buscando una caricia de ésta –No entendemos la solución del acertijo de la oruga y el lagarto.

–Ah, es eso –dijo ella –Es un acertijo que se resuelve usando sólo lógica.

–Ya, Mati –interrumpió el pequeño –pero es que este acertijo no es lógico.

–¿Por qué, Ven? –quiso saber Mati.

–Porque si la oruga estuviese cuerda –empezó Ven — Diría “Estoy cuerda” porque el cuerdo no miente. Pero la tortuga dice que está loca, entonces  no puede estar cuerda. Pero si está loca, no puede decirlo porque estaría diciendo la verdad, y los locos mienten…

Gauss se echó a dormir, empezaba a dolerle la cabeza.

–¿Y quién dice que la oruga no está mintiendo cuando dice que tanto ella como el lagarto están locos? –preguntó la gafotas.

–Ya te lo he explicado… –respondió  Ven con cansancio.

–Pero, Ven, ¿qué es lo que dice la oruga? –siguió Mati.

–Que ella y el lagarto están locos –intervino  Sal.

–Eso es, la oruga dice 2 cosas, hace 2 afirmaciones –dijo Mati –Para que mienta, sólo es necesario que una de ellas sea falsa…

–No, Mati, si miente, miente –respondió un Ven cada vez más confuso y acalorado.

–No, cielo –continuó ella –Si yo digo que Sal y Gauss van a la clase de 5º de primaria, ¿estoy mintiendo?

-¡Toma, claro! –respondió Ven con vehemencia.

–Sin embargo, Sal si va a 5º de primaria, ¿no? –siguió la pelirroja.

–¡Ya, ya me acuerdo de la solución! –gritó Sal –La oruga mintió diciendo que el lagarto estaba loco, como tú has mentido diciendo que Gauss va a 5º.

Gauss abrió un ojo con pereza al oír su nombre. Lo volvió a cerrar.

–Sí… ya… bueno… es verdad –terminó aceptando Ven.

–Es una cuestión de lógica como te dije, Ven –dijo Mati — Para que una afirmación sobre dos hechos sea falsa, sólo es necesario que sea falso uno de los 2. ¿Queréis que lo veamos dibujando conjuntos?

–¡Sí! –respondió inmediatamente Sal.

–Agrupamos en este conjunto a los niños de vuestro cole que desayunan cereales –dijo Mati mientras dibujaba en su libreta –Lo llamamos C, de cereales. Ahora, en otro conjunto agrupamos a los niños de vuestro cole que juegan al fútbol y lo llamamos F –continuó –Habrá niños que desayunen cereales y jueguen al fútbol…

–¡Yo! –interrumpió Ven.

–Pues tú, Ven, y los demás niños que desayunan cereales y juegan al fútbol estáis en la zona donde se solapan los dos conjuntos que la llamamos intersección de  C y F y lo escribimos C ∩ F. A la suma de todos los niños que desayunan cereales o juegan al fútbol o las dos cosas, la llamaremos unión de C y F y lo escribimos C U F, ¿me explico?

Los dos niños asintieron con la cabeza.

–Pues bien, si alguien está en la intersección es porque desayuna cereales y juega al fútbol. No estar en la intersección no significa que ni coma cereales ni juegue al fútbol. Si miramos el dibujo vemos que fuera de la intersección hay niños que están sólo en C, sólo en F, o no están ni en C ni en F.

–Esto es una de las leyes de De Morgan. Veréis a lo que está fuera de un conjunto le llamamos complementario de ese conjunto. Por ejemplo, los niños que no desayunan cereales son del conjunto complementario de C, lo llamamos comp(C).

–Pues bien, los niños que no desayunen cereales ni jueguen al fútbol, es decir, los que están fuera de la intersección, forman el comp(C ∩ F), ¿verdad?

–Verdad –corroboró Sal.

–Pues bien, según las leyes de De Morgan

comp(C ∩ F)=comp(C) U comp(F)

es decir, los elementos que no están en la intersección son aquellos que ó bien no están en C o bien no están en F o bien no están en ninguno de los 2.

–¿Y eso que tiene que ver con el lagarto, Mati? –preguntó Sal.

–Pues que la oruga afirmó que ella y el lagarto estaban locas. Era la intersección de dos sucesos. Negar esa intersección, salirse de ella, es que o la oruga no está entre los locos, es decir,  está cuerda o el lagarto está cuerdo o los dos están cuerdos. Pero la oruga no está cuerda, porque en ese caso lo afirmaría porque el cuerdo dice la verdad. Entonces sólo nos queda una posibilidad: el lagarto está cuerdo.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! –dijo el pequeño.

–Sí, mola –respondió Mati guiñando un ojo a Ven –Y la otra ley de De morgan, nos asegura que

comp(C U F)=comp(C) ∩ comp(F)

Es decir que los niños que no están en ninguno de los dos conjuntos no comen cereales y no juegan al fútbol.

–Yo me hago un poco de lío con la unión y la intersección, Mati… –confesó Ven.

–Te diré un truco, la intersección representa ‘y’, esto es, cereales y fútbol, y la unión representa ‘o’ pero no excluyente, es decir, o cereales, o fútbol, o las dos cosas.

–Entonces si la oruga dice uno de nosotros está cuerdo y está  mintiendo, lo que ocurre es que  los dos están locos, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.

–Exacto, porque estaría diciendo o el lagarto o ella está cuerdo, es decir, es una unión. Si es mentira, estaríamos en el complementario de la unión, y eso es la intersección de los complementarios: la oruga no está cuerda y el lagarto no está cuerdo.

–Me estoy volviendo loco… –dijo Ven moviendo los ojos a un lado y a otro.

–Bueno, Ven, siempre lo has estado –contestó su hermano con una sonrisa pícara.