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Archivo de abril, 2012

¿Cuál es el límite de la sucesión de Wert?

Una sucesión de pequeñas voluntades consigue un gran resultado.

Charles Baudelaire

 

Para los matemáticos  una sucesión es una lista ordenada de objetos o eventos. De hecho, se han estudiado y se estudian las sucesiones con el fin de extraer información de los fenómenos que éstas pueden representar. Alguna de ellas han conseguido bastante fama más allá de los libros de Matemáticas como la sucesión de Fibonacci, de la que Mati y sus amigos ya nos contaron algo. Sí, hablo de Mati en tercera persona, porque hoy ella también salió con los niños y he aprovechado yo, Clara Grima, para asomarme por esta ventana. Como profesora universitaria, como madre de dos niños en educación primaria, como persona preocupada y angustiada por el futuro de la Ciencia en este país… En definitiva, como ciudadana.

Sin entrar en muchos detalles técnicos, cuando uno tiene una sucesión en matemáticas, una de  las primeras cosas que se pregunta es si tiene límite, es decir, si se va acercando cada vez más a un número o al infinito. La de Fibonacci por ejemplo se va a infinito porque crece cada vez más y más en cada término. Otras sin embargo, se acercan cada vez más a cero… Son éstas las que me han inducido a escribir sobre la sucesión de Wert. No, no lo tecleen en el buscador, no me consta que se haya definido esta sucesión.

 

Cuando hablo de la sucesión de Wert me refiero, parafraseando a Baudelaire, a la sucesión de voluntades, nada pequeñas en el caso de este señor y el ministerio que representa, que están legislando y modificando el sistema de Educación Pública de este país, a  todos los niveles, o la inversión del mismo en proyectos de investigación científica, por ejemplo.

Nuestro ministro de Educación, Cultura y Deporte ya apuntaba maneras cuando se descolgó diciendo que

Educación para la Ciudadanía se convirtió en una asignatura con una carga de adoctrinamiento.

J. I. Wert Ortega

Para apoyar su tesis el excelente e iluminado señor Wert citó textos de dicha asignatura que nunca se habían llegado a publicar. Da igual, no pasa … Para su información, señor Ministro, el adoctrinamiento al que está siendo sometido mi hijo mayor en EPC abarca asuntos como la tolerancia, respeto a los demás, autoestima, empatía, solidaridad… Supongo que habrá oído hablar de estas cosas. No, claro, usted como yo no tuvo la suerte de que en su colegio dedicaran una asignatura a enseñar valores tan importantes, teníamos que rezar. No pasa

En aquel momento, tras la rabia inicial provocada por esta decisión sobre EPC, desde mi punto de vista estúpida, terminé por aceptar que no se trataba más que de un globo sonda, una cortina de humo para que no nos pusiéramos nerviosos esperando el cumplimiento de aquellas promesas electorales que salvarían  a nuestro amado país de la crisis económica.

Pero era sólo uno de los primeros términos de la sucesión de Wert… Desde entonces cada término, cada evento de ésta, de la sucesión, no es más que una muestra más de la indudable voluntad de este Ministerio por hacer tender el sistema de Educación en España a la ignorancia del pueblo raso, para que sólo las mejores rentas tengan opción a ofrecer a sus hijos una educación de calidad, desde la educación infantil hasta la universidad. Porque, eso sí,  de 0 a 3 años, según este señor, no es educación sino conciliación, lo que demuestra la falta de respeto del mismo hacia la labor desempeñada con entusiasmo y profesionalidad por los educadores encargados de nuestros hijos a estas edades. No pasa 

Supongo que a estas alturas todos los que estáis leyendo este artículo conocéis las lindezas propuestas por Wert. No voy a hacer una lista pormenorizada de ellas, sólo un paseíto por ese camino de baldosas amarillas que este señor nos está preparando para volver al sistema de educación pública de aquellos tiempos que tanto parecen añorar. Eso si no nos come antes la bruja del norte, que en este cuento es bastante malvada.

Es cuanto menos gracioso (bueno, no, no tiene ninguna gracia) leer el comienzo del Real Decreto-ley 14/2012, de 20 de abril, de medidas urgentes de racionalización del gasto público en el ámbito educativo.

Las medidas que se adoptan en este real decreto-ley resultan imprescindibles para cumplir con la senda de consolidación fiscal fijada y con el compromiso de reducción de déficit de la Unión Europea,

Se trata, en definitiva, de introducir importantes elementos de racionalidad y eficiencia en el sistema educativo…

¿Imprescindibles? Perdone mi ignorancia, señor Wert, ¿no hay medidas de recortes imprescindibles para la Iglesia, la Casa Real o el ejército? ¿Le parece más racional recortar en Educación que en las tres partidas anteriormente citadas?  ¿Saben ustedes qué significa racionalidad?  En fin… No pasa 

No te dejes engañar, amigo Sancho.

Si uno sigue leyendo el documento, todavía en enseñanza no universitaria, llega a lo de permitir un grado razonable de flexibilidad en el número de alumnos por aula, que supondrá un aumento de la ratio de alumnos por clase. Alto ahí, nada de enfados, que no lo hemos entendido, que lo que vamos a conseguir con ello es que nuestros niños socialicen y se relacionen en la escuela. Veamos, don José Ignacio, nuestros hijos socializan en el parque. Van a la escuela, principalmente a adquirir conocimientos, a afianzar el pensamiento crítico que traen de serie cuando nacen, a satisfacer su curiosidad científica… Que no vayan a clases de hípica no significa que no tengan espacios públicos donde jugar y relacionarse. Lo digo por si no se le había ocurrido.

No habrá sustituciones para bajas de profesores de menos de 10 días lectivos, o sea, dos semanas de clase. Eso no nos ha explicado el señor Wert para qué le viene bien a nuestros hijos, a ver si lo invitan a alguna tertulia y nos lo cuenta, me tiene en ascuas. Yo, en mi profunda ignorancia como estudiante de la enseñanza pública, lo único que intuyo es que mis hijos pueden pasar hasta 2 semanas de clases sufriendo un desfile de profesores por el aula, profesores de su nivel o no, que apechugarán como mejor puedan durante la hora o las horas que les toque. Es, como ya he dicho, lo que yo puedo intuir de la medida, pero claro, a lo mejor no me entero como soy de la pública… No pasa 

Esas y otras ideas en cuanto a la educación no universitaria. Vamos a leer lo que han legislado estos expertos para la Universidad, que ahí no están mis hijos pero es donde curro.

Me tengo que reír, por no llorar, claro. No tienen ni idea. Pero, vamos a ver, seamos serios: ¿cómo vais a regular la carga docente de un profesor universitario en función de los créditos ECTS? Como usted sabe, ¿o no?, el crédito ECTS  es una medida de esfuerzo del alumno. En base a eso, la carga docente asignada a los profesores puede variar desde 6 horas por crédito en una Universidad hasta 10 horas por crédito en otras. Ay, vaya, se le ha pasado este detalle… No pasa ná. 

Por no hablar de los recortes o incrementos de carga docente al profesor universitario en función de unos criterios específicos de investigación, probablemente confusos para aquellos que no conocen el funcionamiento de la Universidad, que tampoco tienen ni pies ni cabeza. Desde su perspectiva,  los peores profesores serán  castigados con impartir clases ¿Es eso un mejora para el estudiante? Si los profesores con más sexenios son los más mejores, ¿no deberían éstos impartir más clases? ¿No sería esa una medida para fomentar la investigación de los malos profesores? ¿Cómo se detectan a esos malos profesores?

Os enlazo la opinión de cinco profesores universitarios: Alberto Márquez, Pablo Mira, JoseRa Portillo (aka Zifra) y Joaquín Sevilla y este otro  por si queréis profundizar en el asunto.

Ya tenemos a los profesores controladitos, vamos ahora a por los estudiantes de la Universidad

¿Qué piensa, señor Ministro? ¿Qué podemos hacer para que el que “tenga talento y ganas de estudiar” pueda hacerlo “en cualquier nivel”? Pues nada, subamos las tasas, reduzcamos la partida para becas y endurezcamos los requisitos para concederlas (insertar aquí una risa de malvado de opereta) ¿Y si una familia no puede permitirse enviar a su hijo a la Universidad en esas condiciones? Ah, que concederán créditos. Espero que haya hecho usted mejor estas cuentas y que no le pase como cuando contó el número de universidades de California…  Eso si la familia de verdad  tiene dificultades para enviar a sus hijos a la universidad, porque el iluminado también se pregunta si  “no se tienen recursos o no se quieren dedicar en detrimento de dedicarlos a otra cosa”. O sea, que además de pobres somos mentirosos.

Llegados a este punto de desánimo, sólo nos queda por mirar cómo se está tratando a la Ciencia para entender la sucesión completa ¿Para qué queréis ir a la Universidad, niños y niñas? ¿Para tener que salir fuera de este país para poder investigar si os decantáis por esa opción? ¿No veis que ya el Gobierno de Castilla-La Mancha ha suprimido la financiación de “todos los programas de investigación” de la Universidad de esta comunidad? ¿O es que además de pobres sois ingenuos?

Sepa usted, don José Ignacio, que  sin ciencia, no hay futuro.  Pero no  pasa

No, no me diga señor Wert que son medidas coyunturales y temporales porque mi hijo es único, como lo son todos los niños que se verán afectados, y lo que él no aprenda estos años, la calidad de enseñanza que él no tenga estos años, no se la van a devolver nunca ¿O tiene previsto dar clases particulares para recuperar una vez que su gobierno nos traiga esa bonanza económica que nos prometieron?

Si uno analiza con detalle toda esta sucesión de medidas del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte sólo le quedan dos posibles explicaciones: o son tan ignorantes que no se dan cuenta del mal que están haciendo o son tan malintencionados que quieren embrutecer al pueblo para manejarlo mejor. En cualquiera de los dos casos, me inquieta que estén gobernando este país con mayoría absoluta.

Y mi inquietud no disminuye cuando descubro que están consiguiendo lanzar un mensaje a la población al más puro estilo Divide y Vencerás. Porque aunque lo lógico en esta situación, creo, sería que hiciésemos piña contra el atropello, tienes que oír en la calle frases del estilo de “los maestros viven demasiado bien”, “40 éramos en mi clase y no pasaba nada”, “los científicos están en la nómina de las farmacéuticas”, “si no se quieren ir a Alemania a investigar, que se vayan a Lepe a coger fresas”, “menos universidad y más pico y pala”... Algunos con hijos en escuelas públicas, otros con familiares en proceso de curación de un cáncer…  Me recuerda inevitablemente a aquella película en la que el pueblo discutía si deberían crear el Frente Popular de Judea o el Frente Judaico Popular mientras seguían gobernando los romanos. No pasa

¿No pasa ?

Termino como empecé, con la misma cita de Baudelaire  ¿Y si somos nosotros los que creamos una sucesión de pequeñas voluntades que contrarreste la sucesión de Wert? Porque intuyo que ésta tiende a cero.

Una sucesión de pequeñas voluntades consigue un gran resultado.

Charles Baudelaire

 

Área de aprendizaje

–¿Que haces, Ven?

–Nada… miraba el masu que hicimos el sábado con Mati.

–¿Quieres que juguemos con él a medir arroz?

–No, no es eso, Sal… –respondió Ven un poco apenado –Es que… no se lo digas a nadie, pero yo no sé qué es el área. Yo sólo conozco el área de penalty y el área de portería. No entiendo qué pasa con el área de la base.

–Vamos a mirar en el diccionario, Ven –respondió Sal tratando de animar a su hermano.

Los niños se pusieron a hojear el diccionario hasta que Sal encontró área y leyó en voz alta:

–Espacio de tierra comprendido entre ciertos límites… Eso es lo del fútbol también –concluyó el gafotas.

–¿Qué buscan mis niños en el diccionario? ¿Masu? –Mati acababa de entrar.

–No, Mati, estamos buscando área –dijo el pequeño Ven –porque yo sólo conozco las del fútbol y no sé cuál es el aŕea del masu.

–Ah, entiendo –Mati sonrió – Te refieres al área de la base del masu, ¿no?

Ven afirmó fuertemente con su cabecita.

–Cuando hablábamos el sábado de áreas, me refería a la medida de la superficie de la base de nuestro masu, por ejemplo. Cuando hablamos de área de una figura plana, estamos dando una medida de la superficie que ocupa.

–Y, ¿eso cómo se mide? ¿Con un metro muy ancho?

–Más o menos, Ven –respondió la pelirroja –Se mide usando cuadraditos pequeñitos, como si pusiéramos losetas en el suelo.

–¿Losetas? –preguntó Sal mientras sus gafas resbalaban por su naricilla.

–Más o menos, ¿queréis que os explique cómo se calcula el área de las figuras planas?

–¿Es muy difícil? –preguntó Ven con preocupación mientras Gauss ponía las orejas tiesas esperando la explicación de Mati.

–No, para nada, al menos el cálculo de áreas de algunas figuras. Este cálculo es algo conocido desde la antigüedad cuando aún no se sabían muchas matemáticas –comenzó diciendo Mati –El historiador Herodoto sugiere que fueron los egipcios los primeros que se plantearon medir el áreea de los terrenos de cultivo, para poder volver a delimitar los mismos después de la inundación anual del Nilo, porque ésta, la inundación, borraba los límites de las parcelas y luego había discusiones sobre los campesinos para volver a poner límites a sus fincas.

–Vaya, rollo de Nilo…

–Pues sí, Ven, era un poco rollo tener que volver a marcar las parcelas tras cada inundación, pero a cambio, tenían tierras muy fértiles. Pero bueno, esta teoría de Herodoto puede no ser del todo cierta, puesto que parece que también los babilonios conocían el cálculo de áreas…

–¿Cómo se calcula el área, Mati? –preguntó impaciente Sal.

–Vamos a ello, chicos. Antes que nada, necesitamos fijar una unidad de área común para todos. Como tenemos nuestro cuaderno de cuadritos, elegimos como unidad de área el cuadrito de la hoja de papel.

 

–Comenzaremos calculando el área de un cuadrado. Si a nuestra unidad de área la llamamos u2, como es habitual, al lado del cuadrito le llamamos u y será la unidad de longitud. Dibujamos un cuadradro y medimos cuántos u mide el lado. Sólo habría que medir uno de ellos puesto que si es un cuadrado, los 4 lados miden lo mismo.

 

 

 

–Fijaos que nuestro cuadrado está relleno de cuadritos, como si fuera un suelo enlosado, ¿no?

–Sí –respondió el pequeño.

–Entonces, el área de nuestro cuadrado es el número de losetas o cuadritos (que son unidades de área) que necesitamos para recubrirlo.

–¡Yo los cuento, yo los cuento, por fa! –dijo Ven y se puso a contar con su dedito sobre la libreta de Mati –Son 64 baldosas.

 

 

 

–Muy bien, Ven ¡Qué rápido eres contando! –afirmó Mati provocando en Ven una sensación de superioridad.

–Que es exactamente… –Sal seguía mirando absorto el dibujo –…el resultado de 8 x 8…¿Verdad, Mati?

–Efectivamente, Sal –corroboró ésta –Y así es siempre, el área de un cuadrado se calcula multiplicando la longitud de sus lados.

 

–¿Siempre, siempre? –preguntó Ven.

–Siempre, siempre –contestó Mati.

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! Y no te tienes que saber las tablas de multiplicar, ¡basta con contar losetas!

–¿Pero qué dices, Ven? ¿Y si son miles, miles y miles de losestas? –intervino Sal.

–Toma, es verdad…

–En es caso –dijo Mati –usamos las multiplicaciones, o una calculadora. No os preocupéis.

–¿Y si los lados no son iguales, Mati? –preguntó Sal.

–¿Si tenemos un rectángulo? Vamos a contarlo a ver qué pasa… –dijo la gafotas mientras cogía de nuevo su cuaderno y dibujaba un rectángulo.

–¡Yo cuento! –volvió a pedir el pequeño y se puso a puntear cuadritos con su dedito.

 

 

–Es verdad, Mati, otra vez nos ha salido lado por lado –el gafotas no pudo reprimir una sonrisa.

–Vamos a darle un nombre a esos lados para distinguirlos –propuso la pelirroja –A uno de ellos, por ejemplo, al horizontal, le llamamos base; al vertical, le llamaremos altura. Con esos nombres ya podemos afirmar que el área de un rectángulo es el producto de su base por su altura.

 

 

 

–¡Qué fácil, Mati! –Ven estaba alucinando.

–Vamos a ver ahora el área de un triángulo –propuso ella.

–¿Rectángulo, isósceles o escaleno? –preguntó Sal.

–Bueno, no es importante, pero vamos a elegir uno escaleno que son más desiguales.

–¿Puedo contar las losetas otra vez yo? –preguntó Ven con carita de bueno.

–Claro, ¿verdad, Sal? –respondió Mati. Sal asintió con su cabecita.

 

–Ahora no se puede… –la carita de Ven perdió su brillo de repente.

–Es cierto, ahora hay trocitos de losetas, Mati. Ven tiene razón.

–Vamos a encerrar ese triángulo dentro de un rectángulo, a ver si nos ayuda –dijo Mati –Pintamos de verde la zona del rectángulo que no es parte de nuestro triángulo.

 

–Partimos nuestro triángulo en 2 usando esta rayita roja vertical y nos fijamos en que: el triángulo amarillo y el verde a la derecha de la línea roja son iguales y los dos triangulitos, el amarillo y el verde, a la derecha de la línea roja, también son iguales, ¿no?

–Sí… ¿y?

–Pues eso, Ven, significa que el área verde, la suma de los 2 triángulos verdes, es igual que el área de nuestro triángulo original.

–Ya lo veo… –dijo Sal –La suma de esas áreas es el área del rectángulo, o sea, base por altura.

–Eso es, Sal –continuó la gafotas –Y como el rectángulo contiene a dos triángulos como el nuestro amarillo, el área de nuestro triángulo es la mitad de la del rectángulo.

 

 

–¡Toma, toma, toma! –Ven achuchó a Gauss con la emoción. Éste se dejó querer –¡Ahora el círculo!

–Oh, despacio, Ven –dijo Mati sonriendo –Vamos a segur un poco con figuras de lados rectos, ya vendrán las curvas…

–Mejor, así no nos mareamos –contestó Sal guiñando un ojo a su hermano que sonrió sin entender muy bien el chiste, francamente.

–Vale –terminó aceptando Ven.

–Vamos a ver cómo se calcula el área de otros paralelogramos –propuso Mati.

–¿El qué? –la cara de Ven se arrugó enterita.

–Un paralelogramo es una figura plana de 4 lados, con la propiedad de que esos lados son paralelos 2 a 2..

–¿Qué significa paralelo, Mati?

–Dos lados son paralelos, Ven, si por mucho que lo estirásemos, nunca se encontrarían.

–Entonces, si son paralelos, tiene que ser un cuadrado o un rectángulo.

–No, Sal , hay otros paralelogramos: los rombos y los romboides. En el caso del rombo, los 4 lados miden lo mismo.

–Yo sé cómo dice rombo en japonés –interrumpió Ven –Bishi. Me lo explicó papá con una marca de coches que tiene 3 bishis.

–Hala, Ven, eso no lo sabía yo –dijo Mati –Gracias.

–De nada –respondió Ven orgulloso.

 

–¿Por qué les llamas rectángulo al cuadrado también, Mati? –preguntó Sal.

–En realidad, el cuadrado es un rectángulo con los lados iguales, y se llaman así, rectángulos, porque sus lados se cortan entre sí formando un ángulo recto...

–¡Como la esquina de una portería! –Dijo Ven ufano

–Eso es –confirmó Mati.

 

 

–Mientras que ni en el romboide ni en el rombo, los ángulos son rectos ¿Cuánto mide el área de este romboide? –propuso la pelirroja después de dibujar uno en su cuaderno.

–Otra vez hay trocitos de losetas… –dijo el pequeño serio.

–Ya veréis… –empezó diciendo Mati –Fijaos en el dibujo en que el triangulito T1 es exactamente igual que el triangulito T2

–Cierto… –puntualizó el gafotas.

–Recortamos el triángulo T1 y lo pegamos junto a T2, ¿que nos queda?

–¡Un rectángulo! –gritó Ven.

–En ese caso, es pan comido para mis chicos –dijo Mati guiñando un ojo.

–Pero qué divertido es calcular áreas, Mati –dijo Ven –Siento haber dicho que lo del Nilo era un rollo.

–¡Jajajaja! –Mati se rió –una cosa no quita la otra, Ven.

–¿Y el área del rombo es lado por lado, Mati?

–Eso es, Sal –respondió Mati.

–Pues ahora que hemos acabado con las figuras de 4 lados, vamos a ver las de 5, ¿vale? –pidió Ven con alegría.

–¿Quién dice que hemos terminado con las figuras de 4 lados, chico impaciente? –Mati alborotó el cabello de Ven – ¿Qué pasa si los lados de la figura no son paralelos de 2 en 2?

–¿Qué pasa? –preguntó inmediatamente Sal.

–Pues que no tenemos paralelogramos, y en ese caso, cuando, por ejemplo,  2 de los lados del cuadrilátero, de la figura de 4 lados, son paralelos y los otros 2 no, se les llaman trapecios.

–Como en el circo… -dijo Ven.

–Y como unos músculos de la espalda –añadió Sal.

–¡Toma, trapecio es una palabra polisémica! –A Ven le encantan las palabras polisémicas.

–Cierto, como área –Mati sonrió – Vamos a quedarnos con los trapecios que son cuadriláteros y vamos a calcular su área, ¿os parece?

–¡¡Sí!! –contestaron al unísono.

–Los trapecios, como los triángulos, se pueden clasificar en rectángulos (si uno de sus ángulos es recto), isósceles (si tienen 2 lados con la misma longitud) o escalenos (si los 4 lados tienen longituedes distintas).

 

–Como los triangulós –apostilló Ven.

–Eso ya lo ha dicho, Mati –dijo su hermano.

–Huy, es verdad –Ven se ruborizó –Lo siento.

–No pasa nada, cielo –dijo ella – Ahora, a ver cómo calculamos su área.

 

 

–Antes que nada, vamos a recortar los triangulitos laterales, y los llamamos T1 y T2, a la base de T1 le llamamos b1 y a la base de T2 le llamamos b2. Llamamos h a la altura del rectángulo que nos queda al cortar los triángulitos. Por útlimo, como los 2 lados paralelos no miden lo mismo, al más largo le llamamos base mayor y al más corto, base menor. Tenemos un cuadrado, en el centro y dos triángulos pegados. Sabemos calcular el área de los 3, sólo hay que sumar, ¿no?

–Es verdad, y ya está –Ven se sentía satisfecho y feliz.

–Pero vamos a toquetear un poco esas cuentas, a ver si conseguimos una fórmula como la de base por altura del rectángulo –propuso Mati.

–Y del romboide –añadió el pequeño.

Mati, en otra hoja de sus cuaderno, empezó a escribir y a componer, descomponer, sacar factor común… Finalmente obtuvo lo que buscaba.

–Ya tenemos, entonces, la fórmula para el cálculo del área de un trapecio. Es la suma de las bases por su altura, dividido por 2.

–¡TOMA! ¡Cómo mola!

–Sí, Ven, mola mucho –dijo Sal con una gran sonrisa.

–Venga, ya, Mati, ahora los de 5 lados –pidió Ven emocionado.

–Pero, bueno… ¿y nos olvidamos de los pobres trapezoides? –dijo ella dramatizando cómicamente.

–Y esos ¿quién son? –resopló Ven.

–Los trapezoides son cuadriáteros donde ninguno de sus lados es paralelo a otro. Imagina un trapecio elástico y gira una de sus bases para que no sea paralela a la otra.

–Ya, ya lo veo –dijo Sal –¡A por el trapezoide!

–Huy, creo que Gauss necesita salir un poco a tomar el aire –respondió Mati –Tiene cara de estar mareado con tanta geometría. Lo dejamos para otro día, chicos.

 

 

 

Mind the map

 

Hoy vamos a hablar del metro, pero no de tarifazos ni de noticias que nos ponen mal cuerpo, vamos a intentar abstraernos durante unos minutos de la realidad.

Hoy, y ahora que los niños salieron a jugar, vamos a hablar de planos de metro, concretamente del plano del metro de Londres, y de cómo un desconocido  ingeniero consiguió revolucionar parte de los conceptos de diseño en el siglo XX.

 

¿Que qué tiene que ver esto con Matemáticas?

 

Pues, mucho. Es el ejemplo que algunos de los que enseñamos Teoría de Grafos usamos para mostrar a nuestros estudiantes la importancia de la representación, el dibujo, de un grafo.

 

¿Qué es un grafo?

 

De forma coloquial y sencilla, un grafo es un conjunto de elementos, a los que llamaremos vértices, que se relacionan entre ellos por parejas, no necesariamente todos, definiendo lo que llamamos aristas del grafo.

Podemos pensar, por ejemplo que queremos diseñar un circuito con 4 componentes, todas unidos con todas, por parejas. A las componentes, que harán el papel de vértices del grafo, las llamamos en una alarde de originalidad {1, 2, 3, 4}. En ese caso, las conexiones que tenemos que dibujar, que harán el papel de aristas, serán {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}. Al grafo así definido se le conoce como K4.

Vamos a dibujar el circuito. Una posible representación sería ésta.

Está bonita, sí. Pero es que… no queremos que las conexiones se corten entre ellas. Pensamos un poco más el posible diseño del circuito y nos damos cuenta de que si lo pintamos, por ejemplo, como en la siguiente figura, no hay cruce entre las conexiones.

¡Bingo!

Bueno, este circuito ha sido muy fácil y hemos resuelto el problema del cruce de las conexiones sin despeinarnos. Vamos a poner una componente más, una ná más. Tenemos que dibujar 5 vértices, las 5 componentes, {1, 2, 3, 4, 5} y unir cada una de ellas con las otras 4.

Muy mono, sí. Pero, ¿lo podemos dibujar sin cruces?

  Les dejo unos minutos para que lo intenten.

 

 

 

No, no se agobien, no es posible. De hecho es uno de los teoremas más famosos de la Teoría de Grafos, el Teorema de Kuratowski.

 

Hasta aquí espero haberles convencidos de la importancia del dibujo de un grafo como aplicación, por ejemplo, en el diseño de circuito.

 

¿Qué tiene todo esto que ver con el mapa del metro de Londres?

 

Los primeros mapas del metro de Londres eran geográficos, básicamente, consistían en dibujar sobre un plano de la ciudad los recorridos de las distintas líneas.

Mapa del metro de Londres en 1908

Fue Harry Beck, ingeniero electrónico (para que no digan que sólo hablo de matemáticos) empleado en el metro de Londres, el primero que se percató de que al usuario no le interesaba conocer el recorrido del metro bajo tierra, sino simplemente, conocer la posición relativa de las líneas y estaciones para realizar los trasbordos que necesitase.

Se le ocurrió entonces, en 1931, que en realidad, más que un diseño geográfico, lo que resultaría útil sería un diseño topológico, con menos curvas y direcciones en las líneas, y, de broma, hizo su primer diseño basado en los utilizados en circuitos eléctricos. Aún un poco reticentes, lanzaron la idea de Beck entre los usuarios y fue aceptada con entusiasmo por los pasajeros del metro.

Mapa de Beck de 1933

Y hasta hoy, esa idea topológica del mapa de Beck, es la más utilizada en el mundo para este tipo de planos. Esto es, sin tener en cuenta la situación  geográfica de las estaciones en el mapa de la ciudad, salvo su posición respecto al Támesis, en el caso del mapa del metro de Londres.  Incluso hasta en nuestro metro de Sevilla, aunque aquí, sinceramente, aún podríamos permitirnos el geográfico.

 

Plano del metro de Sevilla

Volviendo al de Londres y a la pregunta de que qué tiene que ver el plano de un metro con las Matemáticas, en general, o con la Teoría de Grafos, en particular, pues, eso, que es otro ejemplo más, como el del diseño de circuitos sin cruces,  de la importancia del dibujo de un grafo. Puesto que podemos entender las estaciones como vértices y las líneas como aristas.

De hecho, Beck, a lo largo de su trayectoria, introdujo diversos cambios a su diseño original en pos de conseguir mayor claridad en el plano.

En 1936, entre otros cambios, eliminó curvas y sólo permitió ángulos de 45º y 90º.

Mapa de Beck de 1936

En 1940, le pidieron, entre otros detalles, que incorporase ángulos de 60º también, idea que se desechó posteriormente por enturbiar la claridad del plano.

Mapa de Beck de 1941

Se puede consultar aquí la evolución de los mapas de del metro de Londres y observar qué tipo de modificaciones iban apareciendo siempre para mejorar la usabilidad de los mismos, hasta llegar a la versión actual en la que, como no puede ser de otra manera, se referencia a Harry Beck como creador del diseño. Diseño que habida cuenta de la cantidad de merchandising que ha generado (camisetas, tazas, etc.) debe haber sido uno de los más rentables del siglo pasado, supongo.

Pues todo esto para decidir cómo dibujar las líneas de metro y las distintas estaciones. Pero hay otro problema a la hora de diseñar mapas que es el de poner etiquetas con los nombres, por ejemplo, de las estaciones. Tienen que ser pequeños para que las dimensiones del mapa completo no sean desmesuradas pero lo suficientemente grandes para que el usuario las pueda leer. De este tipo de problemas, del de etiquetado de mapas también se ocupan investigadores matemáticos e informáticos, pero eso se escapa de este café que estamos compartiendo hablando de Beck.

Mapa actual del metro de Tokio

De lo que no hay duda es de que la idea original de Harry Beck, aparte de su utilidad práctica, es también un hermoso ejemplo de arte.

Este mapa, de 2003, está en el London Transport Museum

Yo me bajo en ésta. Hasta la próxima.

 

Yo no quiero ser banquero

–Yo no quiero jugar a eso, Sal. No me gustan los banqueros.

–¿A cuántos banqueros conoces, Ven?

–A ninguno, pero he oído que son muy malos y que hacen la crisis.

–Yo no voy a hacer ninguna crisis, sólo vamos a jugar con el dinero del Monopoly.

–Entonces, ¿para qué quieres este antifaz de bandido?

— Eh… no sé…cosas mías… ¿Juegas  o no, Ven?

–No sé, no sé.

–¿Qué le pasa a este perrito? ¿Por qué está temblando? –era Mati quien acababa de entrar y tomar a Gauss en sus brazos.

–Que le dan miedo los banqueros y Sal quiere ser uno de ellos.

 

 

–Yo no quiero ser banquero –protestó Sal –¡Yo quiero ser físico para estudiar la materia oscura! Sólo quiero que juguemos a los banqueros con el dinero del Monopoly para practicar los porcentajes que estamos viendo en clase, Mati.

–Ah, bueno, eso me parece una buena idea, Ven.

–Sólo si tú te quedas aquí para comprobar que Sal no nos engaña –terminó aceptando Ven, aunque Gauss seguía desconfiando.

–Venga, vamos a jugar a los banqueros –propuso Mati –Os propondré unos ejemplos, ¿queréis?

–¡Sí! –gritaron los dos hermanos provocando otro sobresalto a la pobre mascota.

–Tú, Sal, eres el banquero. Ven es un señor que va a ingresar sus ahorros para que el banco le dé un interés por ellos.

–Vale –dijo Sal –¿Cuánto dinero va a ingresar, usted, caballero? –continuó haciéndose el interesante y dirigiéndose a su hermano.

–Ummmm… –Ven pensaba y calculaba –150 euros.

–Estupendo, señor –contestó Sal — En nuestro banco le daremos un 12 % mensual de interés.

–Huy –Mati no puedo evitar intervenir –Creo que te irá mejor de físico, sí…

–¿Por qué, Mati? –preguntó el gafotas.

–Porque eso es mucho interés, pero está bien, sólo es un juego para aprender a usar los porcentajes –respondió la pelirroja –¿Cuánto dinero tendrá Ven en su cuenta al mes siguiente?

–Pues… –comenzó a decir Sal –calculo el 12 % de 150 y se lo sumo. Multiplico 150 por 12…divido por 100…me sale 18…150 + 18… 168 euros, Mati.

–¡Toma! –dijo Ven –Cuánto…

 

–Sí, es que tu hermano es un banquero muy generoso –dijo Mati sonriendo –¿Y al cabo de 2 meses? ¿Cuánto dinero tendría?

–168 + 18…186 euros –contestó Sal.

–¡Hala! –exclamó Ven.

–Bueno, eso si aplicamos un interés simple –dijo Mati.

–¿Qué es un interés simple? –preguntó Sal.

–Un interés simple es aquel que aplicamos siempre a la cantidad inicial de dinero, al capital inicial. Con el interés simple, cada mes le pagarás a tu hermano el 12 % de lo que él ingresó en el primer momento. Si hacemos las cuentas y nos fijamos, 168 es el resultado del multiplicar el capital inicial, 150, por 1 más 2 (porque es el segundo mes) por 0’12 (que es el coeficiente que usamos para calcular el 12% de una cantidad) ¿Lo veis?

 

 

–Vamos a calcular cuánto dinero tendrá Ven después de 3 meses –continuó la pelirroja.

–Sólo hay que sumar 18 euros que es el 12% de 150, Mati –respondió Ven.

–Sí, pero vamos a ver cómo nos sale una fórmula para calcular la cantidad de dinero en cualquier mes más rápidamente.

–Yo ya la estoy sospechando… –dijo el gafotas.

–Has puesto ‘terces’ en lugar de tercer… –dijo Ven a Mati con una risa pícara.

–Huy, es verdad, lo corrijo –respondió ella con cómico sonrojo.

–¡Lo sabía, lo sabía! –gritó Sal –¡Sólo había que cambiar el 2 por un 3!

–¡Toma, toma, toma! ¡Mola! –Ven estaba entusiasmado, no se sabe si por el hecho de intuir la fórmula para el interés simple o por el dineral que le estaba dejando su inversión.

–¿Sabéis entonces cuánto dinero tendrá Ven dentro de 6 meses? –preguntó Mati.

–Vamos a calcularlo –dijo Sal con una enorme sonrisa.

–¡Toma! ¡258 euros! –Ven estaba eufórico.

–Eso es demasiado, Ven… –protestó Sal.

–Bueno, Sal , ya te dije que era un interés muy alto y además ¡mensual! –dijo Mati.

–Vamos a cambiarlo –dijo Sal con cara de malo, malísimo de película.

–¡Ni hablar, ni hablar! –gritó Ven –¿Qué pasa? ¿Que los banqueros no cumplís las promesas?

–Es que me equivoqué al principio… –intentó Sal.

–Lo siento, hay que ser responsable de lo que se dice, ¿verdad, Mati? –preguntó el pequeño.

–Efectivamente, Ven –corroboró Mati –Además, eso de aplicar el interés simple no es del todo honesto, Sal.

–¿Por qué, Mati? –preguntó el aludido.

–Porque el segundo mes, Ven tendré ingresado en tu entidad 168 euros. Lo lógico sería que le dieras el 12% de esa cantidad, no de la inicial –dijo ella.

–A esto se le llama interés compuesto, al hecho de aplicar en cada momento el interés a la cantidad de capital acumulada.

–¡Así me gusta más! –dijo el pequeño con efusión.

–A mí no –respondió su hermano.

–Pero es más justo, Sal, ¿no crees? –dijo Mati –Al fin y al cabo, tú tienes más dinero de Ven invertido en tu banco.

–¿Y en el tercer mes? ¿Tendré que darle el 12% de los 188’16 euros? –quiso saber el banquero.

–¡Toma, claro! –respondió el inversor.

–Efectivamente –continuó Mati –Vamos a hacer las cuentas a ver si intuimos la fórmula para el interés compuesto. El segundo mes Sal debe pagar 168  más el 125 de esa cantidad. Pero si escribimos 168 como 150 x (1 + 0’12), que es de donde lo hemos obtenido, fijaos que nos sale.

 

–Ay, ay, que creo que lo veo… –dijo Sal.

–¿Qué es lo que ves? –preguntó la gafotas.

–Que como es el mes 2, hay que calcular 150 por (1 + 0’12) elevado a 2, ¿no?

–Muy bien, Sal, vamos a ver qué pasa en el mes 3.

–Otra vez has puesto ‘terces’ en lugar de tercer — dijo Ven con una sonrisa.

–Huy, que pesadita estoy hoy –Mati guiñó un ojo.

 

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Eres un crack, Sal! –Ven abrazó a su hermano –Un poco choricete, pero un crack.

–Entonces, chicos, si aplicamos interés compuestos, ¿cuánto dinero tendrá Ven después de 6 meses?

 

–¡TOMA, TOMA, TOMA! ¡MOOOOOOOLAAAAAAAAAA! –los ojos de Ven se salían de sus órbitas. Gauss dejó de temblar.

–¡Eso es mucho, Mati! –dijo Sal muy en su papel de banquero.

–Bueno, ya te dije que lo tuyo no era la banca –Mati le alborotó el pelo –Normalmente el interés es muuuuuuuucho más bajo y se aplica anual y no mensualmente. Pero lo que sí hemos conseguido es intuir las fórmulas para el interés simple y para el interés compuesto. Para el interés simple, ya sabemos que

–Vamos a hacer un ejemplo. Decidme el capital inicial, el interés y el número de años para el que queréis calcular el capital final.

–1000 euros, a un 2% en 4 años –dijo Sal muy serio.

–Veo que has aprendido pronto, banquero –dijo Mati pícara.

 

 

–¿Sólo 80 euros en 4 años? –protestó Ven –¡Qué abuso!

–Lo siento, si no quieres, puedes buscar otro banco –contestó el gafotas muy digno.

–Me temo, Ven, que esto se acerca más a la realidad… –dijo Mati –Vamos a ver ahora ese mismo ejemplo con interés compuesto. Escribimos primero la fórmula:

 

–Y ahora ponemos los datos, a ver cuánto ganamos en 4 años –dijo Mati.

–Ganáis vosotros, yo lo pierdo –respondió Sal con pena.

–No te preocupes, Sal –repuso Mati –que los banquero suelen perder poco…

 

 

–¿82 euros? Pues vaya… –el pequeño inversor se desmoralizaba por momentos –Yo no quiero jugar a los banqueros, Sal.

–¿Qué os parece si jugamos al Monopoly ya que lo tenéis aquí? –preguntó Mati.

–¡Vale! Pero vigila a Ven que a veces intenta colar billetes falsos… -dijo Sal.

–Chivato…

 

Si a George Clooney le gustasen las matemáticas…

Cada vez que veo el comercial del señor Clooney ése de la cafetera, no me preguntéis por qué, pero siempre recuerdo esta cita atribuida a Paul Erdős


Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas.

Alfrèd Rényi

 

Entonces me lo imagino trabajando conmigo en mi departamento, transformando capsulitas en bellos y elegantes resultados de Geometría Computacional, emborronando la pizarra de mi despacho con puntos en posición general… Bueno, lo normal.

Pero esta entrada no está dedicada al protagonista de Good night, and good luck (foto). Tampoco al profesor Rényi, auténtico autor de la cita sobre el café  y los teoremas. Por cierto, la frase fue dicha en alemán haciendo, además, un juego de palabras con satz que significa teorema y también poso de café (kaffee satz).

Hoy, y ahora que los niños salieron a jugar, os quiero hablar de Paul Erdős (en húngaro con el símbolo “ encima de o y no con diéresis), posiblemente el matemático más famoso del siglo pasado.

 

 

El matemático más famoso del siglo XX fue un vagabundo. Nunca tuvo una casa y todas sus posesiones cabían en una maleta, ganó dinero y distinciones, pero sólo se quedaba con lo estricto para cubrir unas mínimas necesidades y el resto lo donaba a personas necesitadas o a causas que él consideraba justas. Su personalidad sin duda fue muy, muy peculiar.

Paul Erdős nació en Budapest en 1913 , hijo de unos profesores de instituto de origen judío. Ya desde muy niño se vio muy atraído por las matemáticas (a los tres años podía estimar cuántos segundos vive una persona). A los 21 obtuvo su doctorado en matemáticas, pero ese mismo año debido al creciente antisemitismo en Hungría se trasladó a Inglaterra. En 1938 se desplazó a EE.UU. Y empezó su vida itinerante.

Desde entonces su vida consistió en ir de universidad en universidad trabajando con colegas durante unos días hasta que hubieran obtenido algunos resultados dignos de publicarse (los matemáticos, como el resto de los científicos hemos de intentar difundir el fruto de nuestras investigaciones en artículos publicados en revistas científicas). Erdős ha sido el matemático con más publicaciones y, por su método de trabajo, el que más coautores tiene.

Este hecho ha dado lugar en  la comunidad matemática a hablar del número de Erdős.

 

¿En qué consiste dicho número?

 

De alguna manera, mide la distancia a Erdős: él tiene asignado un número 0, todos sus coautores tienen asignado un número de Erdős 1, a los coautores de aquellos que tienen número de Erdős 1 se les asigna número de Erdős 2 y así sucesivamente. Murió en 1996. lo digo por si alguien está haciéndose ilusiones con tener número de Erdős 1.

Algo similar ocurre en otras disciplinas, por ejemplo en el cine se considera el número de Kevin Bacon (no tengo ni idea de por qué ya que existen muchos otros actores con más colaboradores que Kevin Bacon). En dicho número Kevin Bacon tiene asignado el número 0, aquellos que han trabajado en una película con él tiene número 1 y así sucesivamente. Se puede consultar dicho número en esta página. Y tiene su gracia, no crean. Por poner un ejemplo, ¿qué número de Kevin Bacon tiene Chiquito de la Calzada? Sí, 3. Pueden probar con otros actores que se les ocurra, es igualmente llamativo.

 

O por ejemplo, ¿qué número de Kevin Bacon tiene Jin Akiyama del que ya hablamos por aquí?

Eso sí, el número de Erdős de Jin Akiyama es menor que su número de Kevin Bacon.

Una de las autoras de este blog tiene el mismo número de Erdős que de Kevin Bacon, pero no esperen que les cuente por qué tiene número de Bacon 3, aún no ha podido superar ese trauma…

Todo esto del número de Erdős no es más que algo anecdótico y representativo de la gran cantidad de colaboradores que tuvo el matemático húngaro. Sin embargo, se ha llegado a situaciones tan absurdas, en mi opinión, como que, al menos  en dos ocasiones se hayan subastado  números de Erdős en el portal de subasta Ebay. El 20 de abril de 2004, Bill Tozier un investigador con un número de Erdös de 4, ofreció la posibilidad de colaboración para obtener un número de Erdös de 5. El mismo año, en Julio, se llegó a subastar un número de Erdős 2 (el mejor que se puede conseguir en la actualidad ya que Erdős no está en condiciones de seguir publicando artículos).

Por último, tengo que  decir que el que la mayoría de los matemáticos activos tengan un número de Erdős bajo (o que casi todos los actores tengan un número de Bacon bajo) tiene que ver con un fenómeno conocido como mundo pequeño o seis grados de separación, pero eso será tema de otro día.

Siguiendo con Erdős, otra de sus características como matemático era que sabía escoger problemas interesantes. De hecho, cuando él creía que un problema tenía interés, ofrecía dinero por su resolución (dinero que pagaba religiosamente). Alguna vez le preguntaron que qué ocurriría si se resolvían todos los problemas por los que ofrecía dinero. Él contestó que no tendría dinero suficiente para pagar, pero que si todos los clientes de todos los bancos acudieran a retirar su dinero, los bancos tampoco tendrían dinero suficiente y que esta segunda hipótesis era mucho más probable que el que se resolvieran todos sus problemas. Y tan probable… ay…

Le gustaban, como nos gustan a todos los matemáticos, las demostraciones bellas y elegantes. Él sostenía algo así como que Dios, aunque él no creía en esas cosas,  tenía un libro, el Libro, donde estaban las más bellas demostraciones de los resultados matemáticos.

No tienes que creer en Dios, pero deberías creer en el Libro.

Paul Erdős

Cada vez que veía una demostración hermosa de un teorema afirmaba: “Ésta es de la del Libro”. De hecho, dos matemáticos, Martin Aigner y Günter M. Ziegler, aceptaron el reto de recopilar en un libro todas aquellas demostraciones que cumplieran los tres requisitos que según Erdős deberían cumplir para estar en el Libro: elegantes, fáciles de entender y notoriamente difíciles de resolver. El propio Erdős sugirió algunas de las demostraciones que deberían figurar. La idea era presentar este libro en marzo de 1998, haciéndolo coincidir con el 85 cumpleaños del matemático húngaro. Lamentablemente, éste murió en 1996 y no llegó a verlo terminado. En España, la editorial Nivola ha publicado la traducción del libro de Aigner y Ziegler, traducido.

Paul Erdős murió tal y como había vivido, de un ataque al corazón durante la celebración de un congreso en Varsovia a la edad de 83 años.

¿Por qué son bellos los números? Es como preguntar por qué es bella la novena sinfonía de Beethoven. Si no ves por qué, nadie te lo puede decir. Yo sé que los números son bellos. Si no lo son, entonces nada lo es.

Paul Erdős

 

Volviendo al principio de este artículo, si Clooney fuese matemático, el que tendría el Libro sería nada más y nada menos que ¡John Malkovich! Mira por donde, así hasta me puedo plantear ser creyente… total, si me regala una bella demostración a cambio de unas capsulitas de voluto… Aunque bien mirado, tampoco me importaría tener que conseguir esa demostración trabajando, codo a codo, con George.

Foto de http://www.nespresso.com/

Pero tal y como se están poniendo las cosas en este país para investigar…mejor será que se quede haciendo películas y anunciando cafeteras.

Esas raíces tan… cuadradas

Anteriormente en Mati, una profesora muy particular… 

 

En el capítulo de hoy…

 

–¿Has terminado tus deberes, Sal?

–Casi. Me falta muy, muy poco.

–¡Bien! Ahora podemos ir a jugar al parque.

–No, voy a esperar a Mati que está a punto de llegar. Quiero que me enseñe a hacer raíces cuadradas.

–Jo, pero eso debe ser muy complicado, gafotas…

–¿Qué es lo que debe ser muy complicado para estos dos niños tan listos? –Mati acababa  de entrar.

–¡Hola, Mati! –saludó Sal efusivamente.

–Hola, Mati, –saludó el pequeño Ven — Calcular raíces cuadradas. Yo sólo estoy en segundo…

 

–Bueno, pero te voy a enseñar un método para hacerlo en el que sólo se necesita saber sumar, multiplicar y dividir. Y como Sal está en 5º y ya sabe hacerlo…

El gafotas sonrió orgulloso.

–¿Sólo con eso? –preguntó Sal.

–Sólo con eso, caballeros –afirmó Mati –¿Queréis que os lo cuente?

–¡Sí! –respondieron al unísono los dos hermanos.

–A ver, decidme un número… –dijo la pelirroja.

–Pero, Mati, ¿qué significa la raíz cuadrada? –preguntó Ven arrugando mucho la naricilla.

–La raíz cuadrada de un número es otro número de forma que si éste lo multiplicamos por sí mismo, nos sale el primero –respondió ella.

Ante la cara de desconcierto del pequeño Ven, Mati continuó:

–Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es 2, porque 2 x 2 es 4, ¿me explico?

–Entiendo… –dijo Ven pensativo  –O sea que la raíz cuadrada de 9 es 3, porque 3 x 3 es 9, ¿no es así?

–Efectivamente, muy bien, Ven.

–¿Nos podemos ir ya al parque?

–No, Ven –protestó su hermano — Ésas son las fáciles –y dirigiéndose a Mati dijo –Quiero calcular la raíz cuadrada de … de 247.

–Toma… –se asombró el pequeño.

–Muy bien –dijo Mati– Decidme un número que creáis que podría ser la raíz cuadrada de 247.

Sal se puso a pensar, Ven puso la mano en el hombro de su hermano mostrando apoyo moral.

–Bueno… –pensaba el gafotas —10 x 10 son 100…es muy poco…20 x 20 son 400 eso es mucho …15 x 15 es… 15  x 10 que son 150 más 15 x 5 que son 5 x 5 x 375… O sea, 225… Es poco, también…

–Sí, pero está cerca de 247 –dijo Mati– Empecemos con 15, por ejemplo. podemos empezar con cualquier número que multiplicado por sí mismo dé menos que 247.

Mati tomó su libreta.

–Ahora nos preguntamos, ¿es 15 la raíz cuadrada de 247? Si no sabemos cuánto es 15 x 15, para comprobar si 15 es la raíz cuadrada de 247, dividimos 247 entre 15. Si no sale 15, es que no es su raíz cuadrada.

–¿Puedo hacer yo la división, Mati? –preguntó Sal.

–¡Claro!

Sal se puso a trabajar en la libreta.

–¿Cuántos decimales saco?

–Nos conformaremos con 3.

–De todas formas, ya sé que todos los demás serán 6... -añadió Sal.

 

 

–Ahora hacemos lo siguiente: como nuestro primer candidato, 15, no era la raíz cuadrada de 247, nos fijamos en el resultado de dividir 247 entre 15, que es 16’466. Hacemos las media entre el primer candidato y el resultado de esta división, y tendremos el segundo candidato a ser la raíz cuadrada de 247 : 15’733.

 

 

–¿Y ahora, Mati? –preguntó Sal impaciente.

–Vamos a hacer lo mismo. Dividimos 247 entre el segundo candidato, 15’733,  para ver si es su raíz cuadrada, si no nos sale el segundo candidato, hacemos la media entre él y el resultado de la división para obtener el tercer candidato. Lo vamos a escribir en una tabla para que se vea más claro el proceso.

 

 

–Y ahora, Mati, dividimos 247 entre el tercer candidato, que es 15’716, a ver si nos sale lo mismo, ¿no? –preguntó el gafotas.

–Eso es –respondió ella.

 

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola! ¡Ya nos ha salido! –el pequeño Ven no supo disimular su emoción.

–La raíz cuadrada de 247 es 15’716 –dijo Sal con voz de presentador de televisión.

–Sí, señor. Si queréis obtener más cifras decimales, basta con obtener más decimales desde el principio de este proceso.

–¡Qué fácil, Mati! –Sal estaba entusiamado.

–Sí, este método permite fácil y rápidamente calcular la raíz cuadrada de un número y es más fácil de recordar que el que me contaron a mí cuando iba al cole –respondió la pelirroja.

–¿Cómo era? –quiso saber Sal.

–Al final, no iremos al parque… -se quejó su hermano.

–Veréis hacíamos un dibujo como éste. Separábamos las cifras de 2 en 2, empezando por la derecha y nos fijábamos en las 2 que se quedaban más a la izquierda. En este caso sólo una, el 2. Ahora pensamos qué número al cuadrado, es decir, multiplicado por sí mismo, da 2 o menos de 2, que es la cifra que estamos mirando.

 

–¡El 1! –dijo Sal inmediatamente.

–Muy bien, Sal. Ése lo ponemos ya arriba en naranja, porque es definitivo. Ahora restamos 1, a 2 y bajamos las dos cifras siguientes. tenemos el 147. Separamos la cifra de la derecha, el 7, y nos fijamos en 14.

 

–En otro nivel, que marcamos con otra línea, multiplicamos 2 por el número que está arriba ya definitivo, el que hemos puesto en color naranja. En nuestro caso, 2 x 1, que es 2. Tenemos que conseguir un número A de forma que 2A x A, sea menor que 147. Probamos con A igual a 7, que es el número que hemos separado, 14, dividido por 2, que hemos obtenido de 2 x 1.

 

–No, vale, Mati –dijo Ven –Sale 189.

–Probemos con A igual a 6

–Tampoco vale –protestó el pequeño — Sale 156.

–A ver con A igual a 5

 

–¡Toma, éste sí! –contestó ven con alegría –Es 125, menor que 147.

–Muy bien, Ven. Subimos el 5 arriba, lo ponemos en naranja, porque es definitivo. Restamos 125 de 147 y para poder calcular decimales, como no nos quedan más números, bajamos dos ceros y repetimos el proceso –continuó Mati — Separamos el 0 de la derecha de 2200, nos quedan 220. Multiplicamos 2 por la cifra naranja, 15, nos da 30 y necesitamos un número A de forma que 30A  x A sea menor que 2200. probamos con 220 dividido entre 30, o sea , 7, y sí, sale. Subimos el 7 arriba, en naranja.

 

 

 

–Es un poco lío, Mati… –se quejó Ven.

–Sí, el primero era más fácil –corroboró Sal.

–Efectivamente –dijo ella –y todavía sólo hemos sacado un decimal, si queremos 3, como antes, tendremos que seguir añadiendo ceros de 2 en 2.

–Pues yo me quedaré con el primero para calcular las distancias con el teorema de Pitágoras –concluyó Sal.

–¿Y si hablamos de esto en el parque? –preguntó Ven con una sonrisa pícara.

–Yo creo que sí –respondió la gafotas –Este perrito necesita un poco de aire fresco…

 

A lo mejor Gauss no estaba tan equivocado con los de sus raíces cuadradas, mirad si no cómo son los árboles que rodean la facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla… 😉

Foto de Zifra

Matemáticas y maravillas

 La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, ¿el lagarto está cuerdo?

Siempre había pensado que este acertijo era original de Charles Lutwidge Dodgson pero cuando me he decidido a escribir esta entrada no consigo encontrar la referencia exacta. No sé si como consecuencia de mi torpeza o porque quizás Dodgson sólo lo inspiró pero nunca llegó a plantearlo. Algo así me pasa con el relato de seis palabras “For Sale: Baby shoes, never worn” (“Vendo zapatos de bebé. Sin usar”) que siempre encuentro atribuido a Ernest Hemingway sin que haya podido corroborarlo del todo. Así que, como matemática que soy, lo dejaremos en que el acertijo que encabeza este artículo, es atribuido a Charles Lutwidge Dodgson.

¿Qué piensan? ¿Está cuerdo el lagarto?

 

La respuesta es sí, puesto que la oruga no lo está. Ya que si lo estuviera, lo que piensa ella sería todo cierto, pero ella piensa que está loca, lo que nos lleva a contradicción. Por lo tanto, la oruga está loca. Si está loca, lo que piensa es falso. Así que si lo que piensa es que tanto ella como el lagarto están locos y ella sí que lo está, nos deja claro que el lagarto está cuerdo y que en eso fue en lo que nos mintió.

Éste y otros acertijos lógicos, algunos un poco más complicados, se encuentran a menudo en la obra de Dodgson, matemático británico, que igual así de pronto no les suena pero sí si les digo que su seudónimo era Lewis Carroll y que, además de matemático y lógico, fue escritor y escribió, entre otras cosas, un libro titulado Alicia en el país de las maravillas.

¿Quién no ha oído hablar de la historia de esta niña que persiguiendo a un conejo con reloj vive unas aventuras surrealistas y absurdas acompañadas de un gato, una liebre, una oruga y hasta un sombrerero loco? Lo que quizá no todo el mundo sepa es que Carroll fue profesor de matemáticas en la Universidad de Oxford. Según sus biógrafos era una persona seria e introvertida, con bastantes problemas en sus relaciones sociales, frecuentemente atribuidos a su tartamudez y a su sordera del oído derecho. Es una teoría. Lo que está claro es que la mente de Lewis Carroll era una fuente inagotable de fantasía, creatividad e imaginación y que estaba especialmente capacitado para las matemáticas y la lógica. Vamos a explorar un poquito esta vertiente del escritor británico, dada la temática de este blog, y a repasar algunos ejemplos de los que nos dejó en su magnífica labor de divulgador de las matemáticas.

Comencemos con una de las preguntas que Carroll nos hace desde las páginas de Matemática demente, una selección que Leopoldo M. Panero hizo del trabajo de éste.

¿Qué es mejor? ¿Un reloj que da la hora exacta una vez por año, o un reloj que es puntual dos veces al día?

Supongo que así planteado, casi todos nos quedaríamos con la segunda de las opciones, ¿no?

Pero a renglón seguido nos plantea otra cuestión.

¿Qué prefieres un reloj que retrasa un minuto al día o un reloj que no funciona en absoluto, que está parado?

Y ahora supongo que casi todos nos hemos quedado con el primero, con el que retrasa un minuto al día.

Si ha sido así, casi todos nos hemos contradicho. Porque si un reloj atrasa un minuto cada día, necesita 12 horas, es decir 720 minutos, hasta volver a señalar la hora correcta. O sea, 720 días, casi dos años. Mientras que el reloj que está parado da la hora exacta dos veces al día.

¿Pero cómo y cuándo sabré que el reloj parado está señalando la hora exacta?  Puede que no tengas forma de saberlo, pero puedes estar absolutamente seguro de que éste te estará diciendo la verdad dos veces cada día. ¿Para qué me sirve? Pues depende de lo que quieras en esta vida. Hay quien necesita tener la certeza de que algo va exacto, sin matices, aunque no le aporte nada, y hay quién permite ciertas imprecisiones si con ello encuentran, más o menos, lo que buscan.

Así podríamos seguir pensando sobre el problema de los dos relojes pero cada vez nos iremos metiendo es disquisiciones más profundas sobre el sentido de la vida, el universo y todo lo demás…Uy, pues mira, esta referencia a Douglas Adams nos lleva hasta uno de los números favoritos, según cuentan, de Lewis Carroll: el 42.

Artículo 42. Toda persona que mida más de una milla tendrá que abandonar la sala.

Todos miraron a Alicia.

Yo no mido una milla —protestó Alicia.

Sí lo mides —dijo el Rey.

Mides casi dos millas —añadió la Reina.

Bueno, pues no pienso moverme de aquí, de todos modos —aseguró Alicia—. Y además este artículo no vale: usted lo acaba de inventar.

Es el artículo más viejo de todo el libro —dijo el Rey.

En tal caso, debería llevar el número uno —dijo Alicia.

De hecho, no es difícil encontrar voces que sugieren que la obra de Adams, concretamente, La guía del autoestopista galáctico, puede haber sido inspirada por la Alicia de Carroll en su sinfín de situaciones absurdas e irreales.

Pero vamos a lo que íbamos, a ver algún acertijo o pasatiempo de Carroll más sencillito que podamos compartir en una servilleta de papel mientras nos sirven el café. Imaginemos que tenemos una casa con un jardín como nos muestra la figura. Tanto la parcela como la planta de la casa son cuadrados perfectos. ¿Cómo se divide el jardín en cuatro partes iguales?

Muy sencillito, ¿no? Todavía nos da tiempo a otro antes de que nos traigan el café. Éste  tendréis que llevarlo impreso a la cafetería, o copiarlos con mucha atención. Partiendo desde el centro del laberinto, ¿podéis encontrar la salida? En este capítulo de Mati y sus mateaventuras os contamos una técnica para entrar y salir de un laberinto desde el exterior, mantener la mano izquierda (o la derecha) siempre pegada a la pared, pero aquí partimos desde el centro del laberinto, ¿funciona?

(Fuente: El paraguas de la rectoría. Cajón de sastre de L. Carroll)


Vamos ahora con una sopa de letras un tanto especial, en el sentido de que siempre hay que encontrar la misma espresión “Was it a cat i saw?” (¿Era un gato lo que vi?) Este pasatiempo, aunque inspirado en la Alicia de Carroll es de Sam Loyd, otro gran divulgador de las matemáticas.

¿Cuántas veces se puede leer en este dibujo “Was it a cat i saw?”? 

(Podéis jugar online aquí)


Partiendo de una letra, en cada paso, nos podemos mover arriba, abajo, derecha o izquierda, como por ejemplo se ve en la figura de abajo. 

Si no os atrevéis con este palíndromo, podéis intentarlo con este otro, más cortito y en castellano, para ir calentando motores.

Podríamos seguir durante mucho tiempo con pasatiempos y acertijos propuestos o inspirados por Lewis Carroll y su obra, pero en algún momento hay que cortar. Voy a terminar con dos de sus Puzzles from Wonderland. Se trata de dos adivinanzas más que de matemáticas de lengua, de lengua inglesa, pero son muy simpáticas.

Dreaming of apple on a wall

and dreaming often, dear,

i dreamed that, if i counted all,

How many would appear?

¿Cuántas manzanas había?

What is most like a bee in May?

Well, let me think: perhaps” you say.

Bravo! You’re guessing well to-day!

¿Por qué?

Todas las respuestas a los pasatiempos y adivinanzas propuestos en este post se pueden encontrar en la red, pero os invito a intentarlo y dejar vuestras respuestas en los comentarios.


Alice Liddell fotografiada por Lewis Carroll

Pues bien, además de escritor, matemático y lógico, Lewis Carroll era fotógrafo. Fue esta última faceta, la de fotógrafo, la que ha dado pie a que se hable de una supuesta pedofilia de Carroll, basada en el hecho de que la mayoría de sus fotografías son de niñas, a menudo con poca ropa y, a veces, desnudas. Todo esto aderezado con el hecho de la ruptura repentina de nuestro protagonista de hoy con la familia de Alice Liddell, la niña que se señala como musa de su Alicia. Pero esto, como he dicho, son suposiciones que se pueden encontrar en biografías como la que Jenny Woolf ha publicado con el titulo The mystery of Lewis Carroll.

También era diácono.

Everything’s got a moral, if only you can find it. Lewis Carroll 

P.D:  Esta misma semana en Twitter  y a través de  @ESCIENCIA , me he enterado de que están preparando esto en Zaragoza. Si tenéis la oportunidad de visitarlo, no  os lo perdáis.

Piratas y polares

–¿Jugamos al fútbol, Sal?

–Está lloviendo, Ven.

–¿En nuestro cuarto?

–Sabes que no nos dejan…

–Pues qué rollo de lluvia… –el pequeño frunció el ceño e hinchó sus carrillos.

–¿Qué les pasa a mis chicos? –Mati acababa de entrar en el salón.

–Que no podemos jugar a nada porque está lloviendo -protestó el gafotas. Ven seguía enfadadísimo con los mofletes hinchados.

–¡Tengo una idea! –propuso alegremente la pelirroja –Jugaremos a los piratas y así, de paso, os enseñaré para qué sirven las coordenadas polares.

–¿Polares? –preguntó Ven extrañado –Los piratas están en el Caribe, no en el Polo, Mati.

–¿Piratas en el hielo, Mati? –el gafotas también estaba muy sorprendido.

–No, no -la pelirroja rió alegremente –Las coordenadas polares no tienen nada que ver con los Polos Terrestres ¡Nada de esquimales esta tarde!

El pobre Gauss ladró con tristeza, ahora que había elegido el disfraz apropiado…

–Entonces, ¿por qué les llamas polares? –preguntó Sal.

–Porque vamos a dar unas coordenadas, ya sabéis, un nombre y un apellido, a cada punto de nuestro mapa en función de un polo (un punto especial), y no de un origen y unos ejes como hacíamos cuando vimos las coordenadas cartesianas.

–¿Sin ejes? –preguntó el pequeño.

–Sólo con un eje -contestó la gafotas.

–¡¿Cómo?! -preguntaron los dos hermanos a la vez.

 –Veréis, os voy a dibujar un mapa del tesoro -propuso Mati y comenzó a dibujar en su cuaderno.

  

–Vosotros dos estáis junto a las palmeras y aquí –Mati señaló sobre el dibujo –tenéis el tesoro. Es así como lo pintaban los piratas, ¿no?

–Sí, claro –contestó Ven –pero este mapa es un poco tonto. Yo cruzaría el lago y llego antes.

–No, Ven, no podemos cruzar el Lago Llorón porque puede haber cocodrilos y es muy peligroso.

–Pero es más corto, por ahí , Sal.

–Sí, pero no sabemos a qué distancia del lago está el tesoro, ¿no te das cuenta?

–Pues vamos hasta la torre desde el lago, Sal.

–Tampoco sabemos a qué distancia está el tesoro de la torre… –el gafotas seguía contestando inmerso en sus pensamientos.

Ven se quedó un rato mirando el mapa de Mati y pensando. No podían empezar desde la Torre, ni desde las Rocas Burlonas…

–No tenemos más remedio que empezar desde las palmeras, parece…- terminó aceptando.

–Efectivamente, chicos. La única manera de encontrar el tesoro con este mapa es partiendo de las palmeras, porque los piratas han ido dejando las marcas usando coordenadas polares en cada uno de esos puntitos ¿Os explico cómo?

–¡¡Sí!! -contestaron al unísono. Gauss se quitó el gorro de pelo que lo estaba asfixiando.

 –Vamos a eliminar los dibujitos del mapa y vamos a quedarnos sólo con la información que necesitamos para encontrar el tesoro –dijo Mati y dibujó en su cuaderno.

 

–Para encontrar el punto 1, el mapa nos indica una dirección (en dirección a las Rocas Burlonas) y una distancia (201 pasos), ¿no?

–¿Todos los piratas tienen el mismo número de pie? –preguntó Ven angustiado.

–No, pero eso hacía más emocionante la búsqueda –respondió Mati y continuó – Como os decía, para saber dónde está el punto 1 del mapa necesitamos 2 datos, la distancia y la dirección. Esos dos datos son lo que llamaremos coordenadas polares, el nombre y el apellido que identificará a cada punto del mapa.

–Entiendo, Mati –dijo Sal –el nombre es 201 pasos y el apellido es hacia las Rocas Burlonas, ¿no?

–Exacto, Sal –contestó ella –Sólo que en lugar de decir hacia las Rocas Burlonas, indicaremos el ángulo que forma esa dirección con la línea horizontal que sale de las palmeras.

 

–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! –parecía que a Ven se le estaba pasando el enfado. Gauss seguía serio.

–¿Ves, Ven? Se pueden hacer cosas divertidas cuando llueve -contestó Mati sonriendo -Pues esta forma que tenían los piratas para señalar dónde habían escondidos sus tesoros, los matemáticos lo llamamos Sistema de Coordenadas Polares y es diferente al que os conté hace poco, el Sistema de Coordenadas Cartesianas, que se parecía al juego de los barquitos, ¿recordáis?

–Claro, Mati –contestó el gafotas.

–Para el sistema de coordenadas polares necesitamos un punto especial, al que llamamos polo u origen

–Eso es igual que en el sistema cartesiano –puntualizó Ven.

–Efectivamente, pero sólo un eje, lo llamaremos eje polar, y será una semirrecta que sale del polo, por ejemplo, horizontal y hacia la derecha.

 

–Vamos a ver cómo funciona este sistema de coordenadas. Ven, pinta un punto en algún sitio y llámalo A –el pequeño se apresuró a dibujar el punto  –Para calcular las coordenadas polares de A necesitamos saber a qué distancia está del polo y qué ángulo forma con el eje polar  el segmento que une al punto A con el polo.

–¡Yo!  Yo lo mido con la regla –dijo Ven.

–Espera, te traigo mi transportador de ángulos para medir el ángulo –dijo Sal.

 Los niños se pusieron mano a la obra y calcularon las dos medidas que les había pedido la pelirroja.

–9 centímetros y 30 grados –dijo el gafotas.

–Muy bien, chicos, eso significa que las coordenadas polares de A son (9, 30)

 –¡Qué chulo, Mati! –el pequeño estaba radiante.

–Me encanta –dijo Sal.

–Me alegro, chicos. Ahora lo haremos al revés. Imaginaos que queremos saber dónde está el punto (4, 50) en nuestro mapa. Vamos a encontrarlo.

–¡Venga! –gritó Ven.

–Miramos la primera coordenada, 4. Eso significa que está a distancia 4 del polo, o sea, si pintamos una circunferencia de radio 4 alrededor del polo, será un punto de esa circunferencia.

 

–Como la segunda coordenada es 50 sabemos que el segmento que une al polo con el punto que estamos buscando forma un ángulo de 50º con el eje polar. Entonces, usando nuestra regla medidora de ángulos, dibujamos una semirrecta formando un ángulo de 50º con el eje.

–Ya está. El punto de coordenadas (4,50) es el punto donde se cortan la circunferencia y la recta.

  

–¡Toma, toma, toma! ¡Es chulísimo! –el pequeño Ven estaba entusiasmado.

–Entonces, los piratas, en realidad, usaban las coordenadas polares en cada punto,¿no?

–Eso es.  Retomemos el mapa del tesoro sólo con puntos.

–Para llegar al punto 1 usamos como polo las palmeras y vamos al (201, hacia Rocas Burlonas), para llegar al punto 2 usamos como polo el punto 1 y nos movemos a (94, vieja torre); para llegar al tesoro usamos las polares desde el punto 2 y vamos a (63, cañones abandonados).

–¡Y el tesoro es nuestro! –Ven abrazaba al acalorado Gauss.

–¿Y tiene algo que ver con la Estrella Polar? –preguntó el gafotas.

–En cierto sentido, sí, puesto que es la que señala el eje de rotación de la Tierra y nos ayuda a ubicarnos –contestó la pelirroja –Las coordenadas polares son muy útiles en navegación y también en robótica, para programar las rutas de los robots indicando la dirección de movimiento y la distancia que debe recorrer en esa dirección.

–Wow… –Ven seguía entusiasmado.

–Bueno, bueno, creo que me merezco una merienda, ¿no? –dijo Mati guiñando un ojo.

–Sí, es hora de merendar –asintió Ven.

Nuestros cuatro amigos salieron hacia la cocina con Gauss a la cabeza.

 

Un sevillano en la Luna


Fuente: NASA

 

Hace unos días ha sido noticia el hallazgo de los motores del Apolo XI en el fondo del océano Atlántico. Hace más de 40 años de aquella misión épica y romántica, al menos para mí, que permitía al hombre alcanzar la Luna, esa Luna tan presente en nuestros sueños, nuestras canciones y tantas veces ofrecidas en promesas de amor eterno… 

Jabir iibn Aflah

 

 

El descubrimiento de los motores a más de 4 kilómetros de profundidad ha sido posible gracias a sofisticadas y modernas técnicas de sónar y no he podido evitar pensar, en plan abuela Cebolleta, ¡Ah!, cómo hemos cambiado... Y al volver la vista atrás, aparte de ver la senda que nunca se ha de pisar, como decía el gran poeta sevillano, me ha venido a la mente el nombre de otro paisano, Abu Muhammad Jabir ibn Aflah (también conocido como Geber tras latinizar su nombre) astrónomo y matemático sevillano del siglo XII, que se ha merecido dejar su nombre en nuestro idolatrado satélite, concretamente a un cráter lunar. Ése es nuestro sevillano en la Luna al que hace referencia el título de esta entrada.

En la siguiente imagen se señala el cráter que lleva el nombre de Jabir ibn Aflah (Geber). Los puntos rojos indican los  alunizajes de las distintas misiones Apolo. (Pinchando sobre ella se puede ver más grande).

 

Un sevillano en la Luna

Aunque hay poca información sobre la vida de Jabir, parece claro  que fue sevillano, puesto que se le nombra como al-Ishbili (el sevillano) en los manuscritos que recogen sus tratados sobre astronomía, y es mencionado como Ibn Aflah de Sevilla por el filosófo y médico Maimónides en su Guía de Perplejos, obra magna de este ilustre cordobés,  quien además fue el que llevó la obra de nuestro amigo Jabir hasta Egipto.

El universo según Ptolomeo

Posiblemente, la mayor contribución de Ibn Aflah es su tratado Correción del Almagesto, en el que corrige los tratados de Ptolomeo, descartando, por ejemplo,  que Venus y Mercurio estuvieran entre el Sol y la Luna como éste afirmaba dentro de su visión geocéntrica del universo. 

 

Parece indudable la influencia de nuestro matemático sevillano sobre los astrónomos de siglos venideros, gracias, posiblemente, a que su obra fue traducida al latín y, como toda buena historia que se precie, también tiene sus cotilleos. Las malas lenguas dicen que gran parte de la trigonometría esférica que Regiomontano (siglo XV) presenta en su obra De triangulis, fue tomada prestada del trabajo de Jabir, sin que éste fuera mencionado en ningún momento. Ya ven, el copiar y pegar sin citar ya venía de antiguo. Bueno, no fueron malas lenguas precisamente las que señalaban al matemático alemán como usurpador de los conocimientos trigonométricos del sevillano, sino que fue el matemático italiano Gerolamo Cardano el que pilló al copión y así lo señaló. Eso sí, hubo que esperar hasta el siglo XVI. Nos cabe el consuelo de que aunque Regiomontano se muriera sin ser pillado, tampoco a Ibn Aflah le hizo daño porque llevaba más años muerto.

Torquetum

 

Pero además de su corrección, demasiado teórica según algunos, a los trabajos de Ptolomeo, Jabir Ibn Aflah  es conocido como el creador de uno de los primeros instrumentos de la astronomía: el torquetum. El torquetum se utilizaba para realizar medidas usando tres tipos de coordenadas astronómicas: las coordenadas altacimutales (posición respecto al horizonte), las coordenadas ecuatoriales y las coordenadas eclípticas.

No voy a entrar en detalles para explicar qué representan cada una de estas coordenadas hoy, lo dejamos para otro día a la hora de las tareas, seguro que a Sal y Ven les apetece aprenderlas, pero sí quería resaltar el hecho de que el torquetum diseñado por Ibn Aflah podía considerarse como una innovadora (en el siglo XII) computadora analógica, puesto que permitía no sólo realizar mediciones en las coordenadas anteriormente citadas, sino también transformar unas en otras sin necesidad de cálculos. Y aparte de todo, es tan bonito… ¿no?

 

Hay ejemplos en el arte en los que este maravilloso instrumento está presente. por ejemplo, en el cuadro conocido como Los embajadores de Hans Holbein el Joven expuesto en la National Gallery de Londres. Está cerca del señor que está a la derecha del cuadro, Georges de Selve, obispo de Lavaur, justo detrás del codo que tan graciosamente apoya.

Los embajadores de Hans Holbein el Joven

Pero además de corregir a Ptolomeo, de inspirar a Regiomontano, ¿y si resulta que nuestro Jabir fue el verdadero diseñador del alminar que luego sería nuestra Giralda?¿Eh? ¿Y si lo que quería Ibn Aflah era ubicar en ella un observatorio astronómico? Ésta es la hipótesis que la profesora Alicia M. Canto sugiere en “Los viajes del caballero inglés John Breval a España y Portugal“.

Esto último es sólo, como se ha dicho, una hipótesis. Pero sería maravilloso que fuera verdad, para terminar de rematar la historia de este matemático sevillano que se quedó en la Luna.

El Giraldillo y la Luna, de Carlos Salguero