Por Mar Gulis (CSIC)
La Alhambra es un excepcional conjunto monumental que se localiza sobre una colina rocosa situada en los márgenes del río Darro, en Granada. Su nombre procede de la palabra árabe al-ḥamrā, que significa ‘la roja’, se cree que por el tono de color rojizo de sus torres y muros. Creado originalmente con propósitos militares, el recinto fortificado fue al mismo tiempo una alcazaba (fortín), un alcázar (palacio) y una pequeña medina (ciudad).
Los inicios constructivos de la fortificación se remontan al siglo IX, aunque la fortaleza alcanzó su esplendor en la segunda mitad del siglo XIV, concretamente bajo los sultanatos de Yusuf I (1333-1353) y Mohamed V (1353-1391). En 1492, la Alhambra se convirtió en corte cristiana cuando los Reyes Católicos conquistaron Granada. Desde entonces a nuestros días, ha pasado por diversas etapas de mayor o menor abandono. En la actualidad, la Alhambra es el principal referente de la arquitectura hispanomusulmana y, gracias a su enorme valor histórico y artístico, fue declarada Patrimonio Mundial de la Humanidad por la UNESCO en 1984.
Claude Valette – Flickr
Así, la Alhambra es admirada por amantes de la historia, la arquitectura, el arte, la artesanía… Pero, ¿sabías que, además, este conjunto monumental crea una especial fascinación en las personas aficionadas a las matemáticas? Te contamos por qué.
Mosaicos, geometría y los 17 grupos de simetría
Al hablar de la Alhambra, con frecuencia se nos vienen a la mente imágenes de los maravillosos mosaicos geométricos de azulejos que recubren buena parte de sus paredes y suelos. Estos revestimientos cerámicos constituyen una de sus mayores bellezas artísticas y también una de las curiosidades matemáticas de la Alhambra.
Para comprender qué son los mosaicos, podemos definirlos a grandes rasgos como una composición, en este caso geométrica, de figuras que recubren todo el plano, de tal forma que cumplen dos condiciones: las figuras no se solapan y no quedan huecos entre ellas. Las piezas que se utilizan se denominan teselas (o, según sus usos, baldosas, losetas, etc.).
Podemos encontrar diversos tipos de mosaicos: regulares, semirregulares, simples, complejos… Los más sencillos están formados por polígonos regulares del mismo tipo (por ejemplo, solo cuadrados, solo triángulos equiláteros o solo hexágonos). Pero también se pueden formar mosaicos combinando varios tipos de polígonos.
En cuanto a la manera de combinarlos, existen cuatro estrategias para rellenar un plano con losetas (o ‘teselar un plano’), es decir, cuatro tipos de movimientos, basados en simetrías, desplazamientos y/o rotaciones:
- Traslación: añadir nueva loseta sin ningún giro respecto a la anterior.
- Rotación: añadir nueva loseta con algún giro sobre un punto fijo.
- Reflexión o simetría: añadir nueva loseta de modo especular respecto a la anterior, con un eje de simetría.
- Simetría con deslizamiento: añadir nueva loseta usando la traslación de la reflexión en el mismo eje sin un punto fijo.
Katie Beuerlein – Flickr
Estos movimientos poseen una estructura matemática que se denomina grupo. Como explican Manuel de León y Ágata Timón en el libro de la colección ¿Qué sabemos de? Las matemáticas de los cristales (CSIC-Catarata, 2015), las transformaciones del plano que dejan invariante una figura forman lo que se llama su grupo de simetrías. Si combinamos dos de estas transformaciones, volvemos a obtener una simetría; cada una tiene una inversa, y la transformación identidad acontece cuando no cambiamos nada. Una de las formas de recubrir (teselar) un plano es comenzar con un motivo simple y repetirlo utilizando esos elementos de simetría. Y hay solo 17 grupos posibles que hacen esto, los llamados grupos cristalográficos.
En principio, podría parecer que existen infinitos grupos de simetría diferentes, o infinitas formas de combinar polígonos en un plano, pero no es así. En 1891, el matemático y cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov demostró que solo existen 17 posibles grupos cristalográficos para las figuras del plano, denominados grupos cristalográficos planos.
La Alhambra: un caso único
Pues bien, aquí viene la curiosidad matemática que alberga la Alhambra: en los adornos ornamentales que están presentes en sus suelos y muros se pueden encontrar ejemplos de cada uno de estos 17 grupos cristalográficos planos. Los artistas musulmanes, por preceptos religiosos, no podían representar seres vivientes en sus creaciones. Sin embargo, esta limitación sirvió de aliciente para estimular su creatividad y explorar caminos geométricos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana. De esto se percató por primera vez la matemática Edith Alice Muller, cuya tesis Aplicación de la teoría de grupos y análisis estructural de la decoración morisca en la Alhambra de Granada, defendida en 1944, fue clave para entender los patrones geométricos islámicos, mucho más complejos de lo que se pensaba hasta el momento.
Los creadores de los mosaicos de la Alhambra no conocían la afirmación del teorema de clasificación de Fedorov, que se produjo varios siglos después. Sin embargo, aunque quizás no supieran que eran los únicos grupos de simetrías, sí conocían todos y cada uno de los 17 existentes para rellenar el plano con baldosas (mediante teselaciones del plano). De hecho, el autor y la autora del libro citado más arriba, del Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC, nos recuerdan que, en la actualidad, es el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos.
Por este motivo, la Alhambra tiene un especial interés para personas interesadas en las matemáticas, pues el libre y audaz método creativo empleado para elaborar los mosaicos pone de manifiesto el uso de conceptos científicos basados en hacer variaciones sobre una misma figura. Sin entrar en otros detalles relacionados con estos revestimientos cerámicos en los que sus constructores eran verdaderos maestros, podemos afirmar que la Alhambra es un ejemplo esplendoroso del hermanamiento entre arte y matemáticas.
Por Manuel de León y Ágata Timón (Instituto de Ciencias Matemáticas, CSIC)*